Задач на конус описаний навколо піраміди, сфери чи циліндра не так багато, однак вони є і декому з Вас можливо доведеться їх вирішувати на практичних з геометрії в 10-11 класі, або при ЗНО тестах при вступі у ВУЗ-и. Обчислення таких завдань не таке і важке, як виглядають умови до задач при першому їх прочитанні. Але і тут не варто зазнаватися, адже деякі задачі не прості.
В цьому Ви зараз переконаєтеся з добірки прикладів для ЗНО підготовки з математики.
Задача 39.19 Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює b й утворює з площиною основи кут alpha.
Визначити об’єм конуса, описаного навколо піраміди.
Розв'язання: Об’єм конуса обчислюють за формулою:
де Soc – площа основи конуса (площа круга);
H=SO – висота конуса.
Конус описаний навколо піраміди, якщо основа конуса описана навколо основи піраміди, а висота конуса дорівнює висоті піраміди.
Маємо правильну чотирикутну піраміду SABCD, у якої довжина бічного ребра:
SA=SB=SC=SD=b (у правильної піраміди всі бічні ребра рівні) і кут alpha нахилу бічного ребра до площини основи.
В основі піраміди лежить правильний чотирикутник (тобто квадрат) ABCD, який вписаний в основу конуса. Тому центр цього круга, точка O, знаходиться на перетині діагоналей AC і BD квадрата ABCD. Тому R=AO – радіус описаного навколо квадрата кола, радіус основи конуса, а кут ∠SAO=alpha – кут нахилу бічного ребра до площини основи.
Розглянемо прямокутний трикутник AOS (∠AOS=90), в якому SA=b – гіпотенуза, ∠SAO=alpha – кут прилеглий до катета AO=R і протилежний до катета SO=H.
За означенням косинуса і синуса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо прилеглий AO=R – радіус основи та протилежний катет SO=H – висоту конуса:
Обчислимо об’єм заданого конуса:
Отримали наступну формулу
– об’єму конуса, описаного навколо правильної чотирикутної піраміди.
Відповідь: 
– Д.
Задача 39.33 У конус із радіусом 
і висотою 3 вписано правильну трикутну призму, всі ребра якої рівні. Визначити ребро призми.
Розв'язання: Призма вписана у конус, якщо вершини верхньої основи призми лежать на поверхні конуса, а нижня основа призми належить основі конуса. Вісь конуса проходить через вісь призми.
Маємо правильну трикутну призму ABCA1B1C1, в основі якої лежить правильний ΔABC.
Нехай AB=BC=AC=a – довжина сторони призми, тоді за умовою задачі:
OO1=AA1=BB1=CC1=a – висота призми.
Оскільки вершини верхньої основи правильної трикутної призми лежать на поверхні конуса, то рівносторонній ΔA1B1C1 зі стороною a вписаний у коло, радіус описаного навколо рівностороннього ΔA1B1C1 кола:
Маємо конус з висотою H=SO=3 і радіусом основи
Розглянемо «малий» конус з основою, яка описана навколо верхньої основи призми.
Висота «малого» конуса: h=SO1=3-a (оскільки вісь конуса і призми співпадають, тобто H=SO=SO1+OO1=h+a);
радіус «малого» конуса
Оскільки основи призми паралельні до основи описаного конуса, то заданий конус і «малий» конус подібні, тому їх відповідні лінійні розміри пропорційні (це також випливає із подібності прямокутних ΔSOK (∠SOK=90) і ΔS1A1 (∠SO1A1=90), у них однаковий, а тому рівний гострий кут при вершині S).
Отже
звідси 3-a=a, 2a=3, a=1,5.
Отримали: a=1,5 – ребро правильної трикутної призми ABCA1B1C1, яка вписана у конус.
Відповідь: 1,5.
Задача 39.34 У конус із твірною
яка нахилена до площини його основи під кутом 60, вписано кулю. Знайти об’єм кулі.
Розв'язання: Куля вписана у конус, якщо куля дотикається до площини основи конуса і дотикається до бічної поверхні конуса.
Властивість кулі, вписаної в конус: одне з великих кіл кулі є вписаним в осьовий переріз конуса.
Тобто радіус кулі і буде радіусом кола, вписаним в осьовий переріз конуса. Маємо конус з твірною 
, яка нахилена під кутом 60 до площини основи, тобто ∠SAB=60.
Розглянемо осьовий переріз ΔSAB (дивись І абзац задачі 39.1), звідси слідує, що ΔSAB – рівносторонній (оскільки в ньому всі кути рівні ∠SAB=∠SBA=∠ASB=60), тобто
.
Радіус вписаного кола в рівносторонній ΔSAB – радіус кулі, вписаної в конус:
.
Об’єм кулі (про кулю дивись детальніше розділ 40):
.
Відповідь: 288.
Задача 39.35 Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в правильний тетраедр з ребром 
.
Розв'язання: Конус вписаний у піраміду (в даному випадку, конус вписаний в правильний тетраедр), якщо основа конуса вписана в основу піраміди, а висота конуса дорівнює висоті піраміди.
Маємо правильну трикутну піраміду – тетраедр SABC з ребром
оскільки у тетраедра всі ребра рівні, а грані – рівносторонні трикутники.
Радіус вписаного кола (основи конуса) в основу тетраедра SABC – правильного трикутника ABC зі стороною a:
Висота бічної грані SM тетраедра SABC є однією із твірних конуса, вписаного в тетраедр (SM⊥AC), тому:
Площа бічної поверхні конуса, вписаного в тетраедр SABC:
отже Sb=6,25.
Відповідь: 6,25.
Це поки що всі задачі на конуси, з якими ми хотіли Вас ознайомити.
При наявності вільного часу даний розділ буде доповнено новими завданнями, які в певній мірі навчать Вас вирішувати складні завдання, виконувати правильно побудову згідно умови, та не боятися виводити нові формули.
