Продовжуємо розбирати готові відповіді із ЗНО підготовки на властивості елементарних функцій і сьогодні проаналізуємо готові відповіді на обернені та складні функції, та все що з тим пов'язано. Багато з наведених відповідей Вам допоможуть при тестуванні та навчанні у ВУЗах, тому основні моменти та схеми розрахунків розбирайте самостійно.

Розділ 22. Елементарні функції та їх властивості

Обернені функції

Приклад 22.22 Вказати функцію, обернену до функції y=4x-1.

Розв'язування: У заданій функції y=4x-1 змінимо місцями y і x, запишемо x=4y-1.
З останньої рівності виразимо y – це і буде обернена функція до заданої:
-4y=-x-1,
y=(-x-1)/(-4)
, або y=(x+1)/4.
Відповідь: y=(x+1)/4 – А.

 

Приклад 22.23 Вказати функцію, обернену до функції y=x^2-2, x∈[0;+ ∞).

Розв'язування: Оскільки x∈[0;+ ∞), то y∈[-2;+ ∞).
У заданій функції y=x^2-2 змінимо місцями y і x, запишемо x=y^2-2 (звідси y∈[0;+ ∞) і x ∈[-2;+ ∞)). З останньої рівності виразимо y – це і буде обернена функція до заданої:
x=y^2-2,
-y^2=-x-2,
y^2=x+2
, або .
ОДЗ кореневої функції: x ∈[-2;+ ∞), як і має бути, отже обернена функція існує!
Відповідь: – Д.

 

Приклад 22.35 Установити відповідність між функціями (1–4) та оберненими до них функціями (А–Д).

Розв'язування: Детальне пояснення як будувати обернені функції до заданих дивись у 22.22.
1. y=3x, заміна: x=3y, звідси y=x/3 1 - Г.
2. y=3/x, заміна: x=3/y, звідси y=3/x 2 - А.
3. y=-3x, заміна: x=-3y, звідси y=-x/3 3 - Д.
4. y=-x/3, заміна: x=-y/3, звідси y=-3x 4 - В.

Складні функції. Дослідження функцій

Приклад 22.24 Вказати складену функцію y=f(g(x)), якщо g(x)=1/x, f(x)=1/(x^2+1).

Розв'язування: Щоб отримати складну функцію y=f(g(x)) потрібно у функції замінити x на вираз g(x)=1/x (тобто у функції «незалежною змінною» буде функція g(x)=1/x, де x ≠0), отже

спростимо вираз:
.
Остаточно ., це відповідає варіанту А тестів ЗНО.

Відповідь: – А.

 

Приклад 22.25 Вказати складену функцію y=f(g(x)), якщо , f(x)=x2-1.

Розв'язування: Щоб отримати складену функцію y=f(g(x)) потрібно у функції f(x)=x^2-1 замінити x на вираз (тобто у функції f(x)=x^2-1 «незалежною змінною» буде функція , де ), отже , спростимо вираз: .
Остаточно y=x, причому D(y)=[-1;+ ∞)..
Відповідь: y=x, D(y)=[-1;+ ∞) – Д.

 

Приклад 22.26 Знайти множину значень функції y=5^sin(x).

Розв'язування: Розглянемо функцію z=sin(x). Її найменше значення zmin=-1, а найбільше zmax=1 (за властивістю функції синуса z=sin(x)).

Функція y=5z зростаюча, тому, підставивши найменше і найбільше значення функції синус в останню рівність, отримаємо найменше і найбільше значення заданої функції, відповідно:

Запишемо множину значень заданої функції:
E(y)=[1/5;5].
Відповідь: [1/5;5] – Г.

 

Приклад 22.27 На рисунку зображено графік функції y=f(x), яка визначена на відрізку [-4;6]. Скільки всього коренів має рівняння f(x)=x на цьому відрізку?


Розв'язування: Проведемо додатково пряму y=x.

Знайдемо такі точки, у яких графіки функцій y=f(x) та y=x перетинаються, тобто знайдемо розв'язки рівняння f(x)=x:
це точки A, B і C (всього три корені).
Не думайте домальовувати ліву вітку кривої і будувати, ще одну точку. Це неправильно + в умові чітко вказано, що функція визначена на проміжку [-4;6], все решта нас не цікавить.
Будьте уважними з такого типу завданнями.
Відповідь: три – Г.

 

Приклад 22.28 Знайти множину значень функції y=1/(1+x^2).

Розв'язування: Розглянемо функцію z=1+x^2.

Вона зростає і є парною на всій області визначення, тому її найменше значення zmin=1 (при x=0), а найбільшого не існує (тобто є нескінченно великим числом, zmax→∞).
Функція y=1/z - обернена пропорційність, тому ymax=1 (при zmin=1).
Найменшого значення не існує, але так як zmax→∞, то ymin→0 (самого 0 так і не досягне).
Запишемо множину значень заданої функції:
E(y)=(0;1].
Відповідь: (0;1] – В.

 

Приклад 22.29 Знайти найбільше ціле значення функції .

Розв'язування: Спростимо вираз cos(4x)cos(3x)+sin(4x)sin(3x):
cos(4x)cos(3x)+sin(4x)sin(3x)=cos(4x-3x)=co(x).
1) Розглянемо функцію y1=cos(x).

Її найменше значення y1min=-1, а найбільше y1max=1 (за властивістю функції косинуса y1=cos(x)). (На рис. жовтий колір).
2) Розглянемо функцію y2=y1-2.
Її найменше значення y2min=-3, а найбільше y2max=-1 (за властивістю лінійної зростаючої функції на деякому проміжку). (На рис. червоний колір).
3) Розглянемо функцію y3=3^y2.
Її найменше значення (на деякому проміжку) , а найбільше (за властивістю показникової функції, як зростаючої на всій області визначення). (На рис. зелений колір).
3) Розглянемо функцію y=25•y3.
Її найменше значення , а найбільше (за властивістю лінійної зростаючої функції на проміжку). (На рис. синій колір).
Запишемо множину значень заданої функції:
E(y)=[25/27;25/3].
Отже, число 8 є найбільшим цілим значенням функції .
Відповідь: 8– Г.

 

Приклад 22.41 Знайти область визначення функції.
У відповідь записати кількість цілих значень аргументу в області визначення.
Розв'язування: Для заданої складеної дробово ірраціональної функції виписуємо дві умови на область визначення:
1) підкоренева функція не повинна приймати від'ємних значень;
2) знаменник дробової функції не повинен дорівнювати нулю.
Розв'язуємо систему нерівностей для знаходження ОДЗ:

за теоремою Вієта отримаємо два корені квадратного рівняння
x1=-5, x2=1.
Наносимо розв'язки на числову вісь і, методом підстановки точки, встановлюмо знаки квадратного тричлена на інтервалах.

Отже, x∈[-5;1].
Запишемо усі цілі значення аргументу в області визначення:
-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1.
Усього 7 цілих розв'язків.
Відповідь: 7.

Попереду Вас чекає багато готових прикладів із ЗНО підготовки, тому залишайтеся з нами та діліться посиланням на ресурс з друзями. Поступово разом пройдем всі типи завдань, що можуть чекати Вас на тестуваннях та при практичних у навчанні.

    Вас може зацікавити:
  1. Область визначення складних кореневих, логарифмічних, тригонометричних функцій
  2. Геометричні перетворення графіків функцій. ЗНО підготовка
  3. Приклади на множину значень функції, знаходження функції за ескізом
  4. Дослідження функції на монотонність, екстремуми, побудова графіка