Готові приклади на область значень, парності та непарності функцій, періодичності стануть Вам добрими помічниками в шкільній практиці та при підготовці до ЗНО тестів з математики. Сьогодні розберемо тести в яких потрібно знайти множину значень функції, або навпаки за ескізом функції знайти функцію, якій належить графік.

Розділ 22. Елементарні функції та їх властивості

 

Приклад 22.8 Знайти множину значень функції y=-2cos(x)+5.

Розв'язування: Будь-які функції слід аналізувати від внутрішніх вложених, до кінцевих.
Розглянемо функцію z=cos(x). Її найменше значення zmin=-1, а найбільше zmax=1 (за властивістю функції косинуса z=cos(a•x+b)).
Побудуємо графіки обох функцій

Підставивши найменше і найбільше значення функції косинус у заданий вираз, отримаємо найбільше і найменше значення заданої функції, відповідно:
ymax=-2•(-1)+5=7;
ymin=-2•1+5=3.

Запишемо множину значень заданої функції:
E(y)=[3;7].
Відповідь: [3;7] – Г.

 

Приклад 22.9 Знайти множину значень функції y=3cos(x+Pi/3)-2.

Розв'язування: Алгоритм обчислень аналогічний до попереднього завдання.
Розглянемо функцію z=cos(x+Pi/3).
Її найменше значення zmin=-1, а найбільше zmax=1 за властивістю функції косинуса z=cos(a•x+b).
Графіки функцій, що аналізуємо наведено на рисунку

Підставивши найменше і найбільше значення функції косинус у заданий вираз, отримаємо найменше і найбільше значення заданої функції, відповідно:

Запишемо множину значень косинуса:
E(y)=[-5;1].
Відповідь: [-5;1] – Б.

 

Приклад 22.10 Функція y=f(x) є спадною на проміжку (-∞;+∞). Указати правильну відповідь.

Розв'язування: Якщо функція y=f(x) є спадною на проміжку (-∞;+∞), то f(x1)>f(x2), якщо x1<x2, або f(x1)<f(x2), якщо x1>x2.
Оскільки f1<10, то f(1)>f(10).
Відповідь: f(1)>f(10) – Д.

 

Приклад 22.11 Дано функцію f(x)=(1-x)/(1+x). Знайти f(x+1).

Розв'язування: У заданій функції f(x)=(1-x)/(1+x) замінимо x на вираз x+1, отримаємо

 

Приклад 22.32 Установити відповідність між функціями (1–4) та їхніми множинами значень (А–Д).


Розв'язування: Продовжуємо вивчати властивості елементарних функцій. Для наочності наведемо графіки функцій, щоб краще уявляти що досліджуємо.
графіки функцій
1) Коренева функція від x^2+9 визначена і парна при всіх значеннях x. Функція зростає, якщо x>0 і спадає, якщо x<0 (на рис. червоний колір).
Найменше значення досягається при x=0:
ymin=√(0^2+9)+1=4.
Найбільшого значення функція не має, тобто прямує до плюс безмежності.
Отже, множина значень заданої функції:
E(y)=[4;+∞), що відповідає варіанту Г ЗНО тестів з математики.

2) y=2^x -4.
Задана показникова функція визначена і зростає при всіх значеннях x (на рис. синій колір).
Найменше значення (при x→-∞), 2x→0 за властивістю показникової функції:
ymin→-4>.
Зверху показникова функція нічим не обмежена, тому при великих значеннях аргументу прямує до плюс нескінченності.
Множина значень заданої функції:
E(y)=(-4;+∞) Д.

3) y=-x^2+4x-8
Крива y=ax^2+bx+c є рівнянням параболи з гілками вниз, a=-1<0 (на рис. зелений колір).
Найбільше значення функції у вершині параболи:
, .
Найменшого значення функція не має.
Отже, множина значень заданої функції:
E(y)=(-∞;-4] Б

4. y=-3x+4
Лінійна функція визначена і спадає при всіх значеннях x (на рис. чорний колір).
Найбільше значення (при x→-∞, -3x→0 за властивістю показникової функції):
ymax→4.
Найменшого значення функція не має.
Отже, множина значень заданої функції:
E(y)=(-∞;4). Таку відповідь містить варіант В тестів.

 

Приклад 22.33 Установити відповідність між функціями (1–4) та їхніми множинами значень (А–Д).

Розв'язування: Усі задані функції є оберненими тригонометричними, тому перш ніж братися за них повторіть їх властивості, хоча б множини значень та області визначення.
Функції не складні тому тут багато пояснювати не будемо, лише наведемо схему обчислень:
1. y=2arcsin(x),
,
Множина значень арксинуса y=2arcsin(x) рівна:
E(y)=[-π;π], це відповідає варіанту Б тестів.

2. y=2arccos(x),
0≤arccos(x) ≤π
0≤2arccos(x) ≤2π
Множина значень арккосинуса y=2arccos(x) рівна:
E(y)=[0;2π] Д.

3. y=2arctg(x),
,
Множина значень арктангенса y=2arctg(x):
E(y)=(-π;π) А.

4. y=2arcctg(x),
0<arcctg(x)<π
0<2arcctg(x)<2π
Множина значень арккотангенса y=2arcctg(x) рівна:
E(y)=(0;2π). Г.

 

Приклад 22.31 Кожній точці (1–4) поставити у відповідність функцію (А–Д), графіку якої належить ця точка.

графік функції
Розв'язування:
1. Через початок координат (0;0) проходить графік котангенса, графік якого на рисунку показаний зеленим кольором. 1 - В.
2. Точка M(0;-1) належить графіку кореневої функції y=√x-1, оскільки √0-1=-1.
На рисунку графік показаний жовтим кольором. 2 - Г.
3. Точка N(-1;0) належить графіку лінійної функції y=2x+2, оскільки 2•(-1)+2=0.
На рисунку графік показаний червоним кольором. 3 - А.
4. Точка K(0,1) належить графіку функції y=2x, оскільки 2·0=1.
На рисунку графік показаний чорним кольором. 4 - Д.

 

Приклад 22.36 Дано лінійну функцію y=ax+b.
Установити відповідність між знаками коефіцієнтів a й b (1–4) та ескізами графіків (А–Д).

Розв'язування: Детальне пояснення як аналізувати графіки лінійної "функції - прямої" дивись у 22.16.
a>0, якщо функція зростає (або якщо пряма утворює гострий кут з додатним напрямком осі Ox) і
a<0, якщо функція спадає (або якщо пряма утворює тупий кут з додатним напрямком осі Ox).
Параметр b вказує на ординату перетину прямої y=ax+b з віссю Oy.
Отже, враховуючи вище наведені властивості прямої y=ax+b, отримаємо
1 - Д. 2 - А. 3 - В. 4 - Б.

 

Приклад 22.40 Установити відповідність між функціями (1–4) та ескізами їх графіків (А–Д).
ЗНО тести, функції
Розв'язування: 1. коренева функція визначена і зростаюча для всіх x, непарна (симетрична відносно початку координат), тому серед наведених ескізів їй відповідає варіант – Д.
2. функція y=1/x5 - визначена для всіх x≠0 і спадна, непарна (симетрична відносно початку координат), на ескізі їй відповідає варіант 2– Г.
3. функція y=1/x4 - визначена для всіх x≠0, парна (симетрична відносно осі ординат), зростає при x<0 і спадає при, x>0, її відповідає 3 – В.
4. функція - визначена і зростаюча для всіх x≥0, на ескізі варант А.

 Далі наведені розв'язки ЗНО тестів на парність та непарність функцій, періодичність, аналіз складних та обернених функцій. Ще ряд завдань в яких за ескізом параболи y=ax2+bx+c потрібно знайти коефіцієнти a,b,c ми згрупували і об'єднали в статтю, яку Ви можете знайти в наступних уроках.

    Вас може зацікавити:
  1. Приклади на обернені та складені функції. ЗНО підготовка
  2. Розвязування задач на найбільше та найменше значення функції на відрізку
  3. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень
  4. Паралельне перенесення графіку функції, симетричне відображення, розтяг та стиск