Степеневі та функціональні ряди можуть бути збіжними на множині дійсних чисел, на певному інтервалі, або бути розбіжними. Встановлення радіусу збіжності та області збіжності ряду є важливим при дослідженні рядів. Радіус збіжності рівний половині ширини області збіжності. На практиці обидві характеристики знайти не важко і Ви в цьому скоро переконаєтеся.
Приклад: 3.6 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневих рядів:
а) 
Обчислення: Для оцінки складемо ряд із модулів членів заданого ряду, тобто ряд із наступним загальним членом
Далі, так як отриманий ряд має додатні члени, то досліджувати його на збіжність будемо за допомогою ознаки Даламбера:
Для цього виписуємо наступний до загального член ряду
та підставляємо в формулу границі. Вигляд членів ряду непростий, тому будьте уважні при розписуванні границі
Вкінці приходимо до експоненти та функціонального множника.
Якщо границя менша одиниці,
то ряд збігається за теоремою Даламбера.
Звідси складаємо обмеження на допустимі "ікси"
- область збіжності.
Отже знайшли 
- радіус збіжності та
- область збіжності ряду.
Для себе запам'ятайте, що радіус збіжності рівний половині відстані між крайніми точками області збіжності.
б) 
Обчислення: Складемо ряд із модулів членів заданого ряду, тобто із загальним членом
Ми отримали ряд з додатними членами, тому можемо досліджувати його на збіжність за допомогою ознаки Даламбера.
Для цього записуємо наступний член ряду
та підставляємо в границю
При границі меншій одиниці 
- ряд збігається за теоремою Даламбера.
З цієї умови знаходимо
- область збіжності.
Таким чином, ми знайшли R=4 - радіус збіжності ряду, та область збіжності 
.
Приклад: 3.11 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневих рядів:
а) 
Обчислення: Члени заданого функціонального ряду
визначені на всій дійсній осі 
, тобто область визначення наступна
.
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:
,
Його загальний член має формулу
Оскільки новий ряд має додатні члени, то досліджувати на збіжність будемо за ознакою Даламбера:
При 
- ряд збігається за теоремою Даламбера, тобто необхідно, щоб виконувалися умови
Звідси знаходимо R=2 – радіус збіжності ряду та (0; 4) - область збіжності.
б) 
Обчислення: Члени заданого функціонального ряду
визначені при 
, тобто область визначення наступна
.
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:
Для дослідження ряду на збіжність використаємо ознаку Даламбера:
За теоремою Даламбера при границі меншій за одиницю 
- ряд збігається.
Звідси знаходимо область збіжності
та R=1/3 радіус збіжності. Із наведених прикладів
Ви могли побачити таку закономірність, що значення, що обмежує модуль є радіусом збіжності ряду.
Область збіжності має в два рази більшу довжину і визначається розкриттям модуля.
Приклад: 3.17 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневих рядів:
а) 
Обчислення: Члени заданого функціонального ряду
визначені при всіх дійсних аргументах 
, тобто 
.
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:
,
тобто
Оскільки даний ряд має додатні члени, то досліджувати його на збіжність будемо за допомогою ознаки Даламбера. Виписуємо наступний за загальним член ряду
та підставляємо у границю
При 3|x|<1 - ряд збігається,
тобто
– область збіжності.
Все, що справа від модуля це R=1/3 – радіус збіжності ряду, а обмеження на "ікс"
– це область збіжності.
б) 
Обчислення: Члени функціонального ряду
визначені на всій дійсній множині 
, їх область визначення 
.
Складемо ряд із модулів членів заданого ряду:
що мають наступний загальний член
Утворений ряд будемо досліджувати на збіжність за ознакою Даламбера:
Для цього записуємо наступний член, що йде після загального
та підставляємо у границю
При 2|x|- ряд буде збіжним за Даламбером.
Розкриваємо модуль і знаходимо
– область збіжності.
та R=1/2 – радіус збіжності.
У вигляді інтервалу записуємо область збіжності
Приклад: 3.27 Знайти радіус збіжності та область збіжності степеневого ряду:
а) 
Обчислення: Члени функціонального ряду 
визначені на дійсній осі 
Складемо ряд із модулів членів цього ряду:
Загальний член задається формулою
Досліджувати ряд із модулів на збіжність будемо за допомогою ознаки Даламбера:
Записуємо наступний член
та знаходимо границю
Оскільки A=0<1, то ряд збігається (за теоремою Даламбера) при всіх дійсних змінних 
, тобто має необмежену 
- область збіжності.
Ряд має безмежний 
- радіус збіжності.
б) 
Обчислення: Члени ряду 
визначені на множині дійсних чисел
Побудуємо ряд із модулів членів ряду:
Далі записуємо загальний та наступний після нього член ряду
та підставляємо у границю
За теоремою Даламбера ряд збігається при 3|x|. З цієї умови визначаємо
– область збіжності ряду
та R=1/3 – радіус збіжності.
У вигляді інтервалу область збіжності матиме запис 
.
Приклад 3. Дослідити функціональний ряд на збіжність.
а) 
Для степеневого ряду виду
випишемо загальний член 
і x0=2.
Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою:
звідси R=1.
Область збіжності ряду:
x∈(-1;1).
Підсумовуємо, що ряд збігається, якщо x∈(-1;1).
б) an=xn/(n+3)
Маємо степеневий ряд виду
, де an=1/(n+3), x0=0.
Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду:
R=1/α, де
звідси R=1.
Ряд збігається на інтервалі:
x∈(-1;1).
Тепер Ви знаєте як знайти область збіжності та радіус збіжності ряду. Користуйтеся наведеними формулами та успішної Вам здачі сесії.
Готові розв'язки на ряди:
