Знаменник геометричної прогресії із загальним членом bn=bn-1q=b1qn-1 знаходять за формулою частки наступного члена прогресії до заданого, або заданого до попереднього
q=bn/bn-1=bn+1/bn.
Це найпростіша формула, яка дозволяє обчислити знаменник прогресії в 9, 10 класах школи.
Далі приклади ускладнюють і на ЗНО тестах та олімпіадах доводиться вирішувати системи рівнянь та показникові рівняння для знаходження знаменника геометричної прогресії. Далі наведені приклади як зі шкільної програми, так і ЗНО та олімпіад в яких потрібно знайти знаменник прогресії.

Приклад 1 Визначити знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b3=14, b4=98.
Обчислення: Є два способи розв'язання заданого прикладу.
Перший, простий в плані розрахунків на основі означення знаменника прогресії та формули вище.
А саме, що знаменник рівний частці наступного члена прогресії до заданого
q=b4/b3=98/14=7.
Другий спосіб, на основі формули n-го члена прогресії
b3=b1q3-1=b1q2=14
b4=b1q4-1=b1q3=98.

Поділимо друге рівняння на перше, в результаті отримаємо знаменник геометричної прогресії
b1q3/(b1q2)=q=98/14=7.
Відповідь: 7.

 

Приклад 2 Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо b1=3, b3=147.
Обчислення: Для обчислення знаменника г/п застосуємо формулу загального члена геометричної прогресії
bn=bn-1q=b1qn-1.
Розпишемо її для 3-го номера
b3=b1q3-1=b1q2=147 .
Далі виразимо знаменник, розділивши 3-й член на 1-й
b3/b1=b1q2/b1=q2=147/3=49;
q2=49=7^2;
q=7.
На практиці подібним чином дістають просте показникове рівняння відносно q старших порядків, все залежить від того наскільки між собою рознесені задані члени геометричної прогресії.
Відповідь: 7.

Приклад 3 Як знайти знаменник геометричної прогресії якщо b1=1944, b4=576.
Обчислення: Схема обчислень аналогічна попередньому завданню:
Записуємо формулу загального члена г/п
bn=bn-1q=b1qn-1.
Для 4-го її члена отримаємо
b4=b1·q4-1=b1·q3
далі підставляємо b4, b1 та виражаємо q
576=1944·q^3;
q^3=576/1944;
q^3=8/27=(2/3)^3.
q=2/3.

Кубічне рівняння відносно q розв'язати тут не важко.
Відповідь: 2/3.
Пам'ятайте, що на практиці Вас, як правило, чекають подібні показникові рівняння q^n=a^n не старше 4-го порядку n=4.

ЗНО тести на знаходження знаменника г/п

Приклад 21.9 Визначити знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b9=24, b6=-1/9.

Обчислення: У г/п відомі b9=24, b6=-1/9 - члени г/п.
Використаємо формулу загального члена геометричної прогресії
bn=b1•qn-1.
Складаємо систему рівнянь з якої діленням виражаємо знаменник геометричної прогресії
знаменник прогресії
q=-2•3=-6 - шуканий знаменник.
Відповідь: -6 – Д.

 

Приклад 21.29 Установити відповідність між геометричними прогресіями (bn) (1–4), заданими двома членами, та їх знаменниками (А–Д).
  Обчислення: З формули bn методом підстановки складаємо показникове рівняння або систему показникових рівнянь, звідки знаходимо знаменник q прогресії:
bn=b1qn-1.
1) b1=-2, b4=-54
b4=b1q4-1=-2q3=-54,
q3=27, q3=33,

звідси q=3.
1 - Д.

2) b2=-6, b5=162
знаменник прогресії
q^3=(-3)^3, звідси q=-3.
2 - А.

3) b1=32, b4=4
 ,
звідси q=0,5.
3 - Г.

4) b3=-24, b6=3

звідси q=-0,5.
4 - Б.

 

Приклад 4 Записати число 3,(14) у вигляді звичайного дробу.
Обчислення:Число 3,(14) = 3,1414… запишемо у вигляді наступної суми:
3,(14) = 3 + 0,14 + 0,0014 + 0,000014 + …
Доданки 0,14; 0,0014; 0,000014; … є членами нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом b1=0,14 і знаменником
q=0,0014/0,14=0,01.
Суму нескінченно спадної прогресії обчислимо за формулою

До суми слід додати 3, яка є на початку розкладу

Таких завдань чимало, тому Ви повинні запам'ятати наведений алгоритм обчислень.

 

Приклад 5 Знайти знаменник геометричної прогресії у якій  b5-b1=15; b4-b2=6.
Обчислення:За допомогою відомих членів та формули загального члена геометричної прогресії складемо систему рівнянь
геометрична прогресія, приклад

Розділимо перше рівняння системи на друге та, розписавши отриманий дріб, зведемо до квадратного рівняння
  Отримали два знаменники прогресії q=2, q=1/2, що задовольняють систему рівнянь.
Відповідь: 2, 1/2.

Цікавих завдань на знаходження знаменника прогресії можна привести ще чимало, але не всім з Вас вони допоможуть в навчанні. Хто цікавиться складними завданнями на прогресії може переходити до наступних уроків. Ми з Вами познайомимося з новими схемами розв'язання прикладів на арифметичну та геометричну прогресію.