Перерізи циліндра площинами. Осьовий переріз

Продовжуємо аналізувати готові відповіді із збірника для ЗНО підготовки. Сьогодні розв'яжемо кілька задач на перерізи циліндра. В залежності від площини, якою перетинаємо циліндр перерізом може бути прямокутник, коло, еліпс, в окремих випадках обрізаний еліпс. Якщо переріз проходить через вісь циліндра і по діаметру основ то його називають осьовим перерізом циліндра. Це найпростіший випадок і його вивчають на практичних заняттях в 10-11 класі з геометрії. Коли маємо перерізи паралельно основам, то отримаємо кола і якщо не паралельно – еліпс. З наступних кількох задач Ви навчитеся розв'язувати завдання, які можуть Вас чекати на практичних та вступних тестах.

Тема 38.5 Осьовий переріз циліндра. Переріз площинами

Задача 38.7 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S.
Визначити площу осьового перерізу.

Розв'язання: Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою:

де R – радіус (основи) циліндра;
H – висота (довжина твірної) циліндра;
D=2R – діаметр (основи) циліндра.
Але за умовою задачі бічна поверхня рівнаS_b=S, звідси маємо залежність
πHD=S. (1)
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник AA₁B₁B, сторони AA₁=BB₁ якого є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H циліндра), а інші дві сторони AB=A₁B₁ – діаметри основ циліндра.
Отже, AA₁=BB_1M=H і AB=A₁B₁=D.
Площа прямокутника AA₁B₁B (осьового перерізу):
Sпер=AA₁•AB=H•D. (2)
Із виразу (1) маємо:
H•D=S/π – площа осьового перерізу заданого циліндра.
Відповідь: S/π – Д.

Задача 38.10 Паралельно до осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу alpha.
Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом beta.
Визначити площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.

Розв'язання: Переріз циліндра площиною, яка проходить паралельно осі циліндра є прямокутник AA₁B1B, сторони AA₁=BB₁ якого є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H циліндра), а інші дві сторони AB=A₁B₁ – хорди основ циліндра, тобто AB=A₁B₁.
Наведемо рисунок перерізів, які описані вище

Площа перерізу:
S_per=AA₁•AB.
Оскільки у циліндра BB₁=H – висота, то ∠BAB₁=beta – кут між діагоналлю AB₁ перерізу і площиною основи (бо відрізок AB – ортогональна проекція діагоналі AB₁ на площину основи).
З центра основи O проведемо відрізки AO і BO.
Оскільки AB – хорда основи, то AO і BO – радіуси основи, тому AO=BO=R.
∠AOB=alpha, оскільки він є центральним кутом вписаним у коло, що опирається на відповідну дугу.
Звідси слідує, що ΔAOB – рівнобедрений з основою AB і бічними сторонами AO=BO=R.
За властивістю рівнобедреного трикутника (кути при основі рівні), маємо

У ΔAOB за теоремою синусів, маємо

У ΔABB₁ за означенням тангенса, маємо

Площа перерізу:

Відповідь: – Д.

Завдання 32. ЗНО 2019. У нижній основі циліндра проведено хорду AB, довжина якої дорівнює c. Цю хорду видно із центра верхньої основи під кутом α. Через хорду AB проведено площину β паралельно осі циліндра на відстані d (d≠0) від неї.
1. Зобразіть переріз циліндра площиною β та вкажіть його вид.
2. Обґрунтуйте відстань d.
3. Визначте площу цього перерізу.
Розв'язування: 1. Маємо циліндр, у якого точки O і O1 - центри нижньої та верхньої основ відповідно. У нижній основі проведемо хорду AB=c.
циліндр, переріз площинами
Через хорду AB проведемо площину β паралельно осі циліндра, тоді вона перетне верхню основу в точках A1 і B1 так, що AB||A1B1 і AB=A1B1
(оскільки основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах).
Оскільки циліндр прямий, то OO1||AA1||BB1 і OO1=AA1=BB1 - висота циліндра, яка перпендикулярна до площини основи. Отже чотирикутник AA1B1B - прямокутник - переріз циліндра площиною β.
Проведемо відрізки O1A і O1B,
тоді ∠AO1B=α - кут, під яким видно хорду AB із центра верхньої основи O1.

2. Відстань d від осі циліндра до площини β - перпендикуляр, який опущений з точки O (основи осі) до сторони AB (прямої, що належить нижній основі циліндра та площини β).
Отже, OM=d, де точка M - основа перпендикуляра, тому OM⊥AB.
Оскільки OA=OB як радіуси основ, то AOB - рівнобедрений і OM - висота, медіана і бісектриса, звідси AM=BM=c/2.

3. Площа прямокутника AA1B1B:
S_AA1B1B=AB•AA1, де AB=c.
Знайдемо сторону AA1 - висоту циліндра.
Розглянемо ΔAO1B, у якого ∠AO1B=α і O1A=O1B
(це випливає із рівності прямокутних трикутників AOO1 і BOO1, де OO1 - спільний катет і OA=OB як радіуси основ, ΔAO1B - рівнобедрений).
Проведемо висоту O1M (O1M⊥AB за теоремою "про три перпендикуляри), тоді ∠AO1M=∠BO1M=α/2 і AM=BM=c/2.
Із прямокутного ΔAO1M (∠AMO1=90⁰) за означенням котангенса гострого кута знайдемо прилеглий катет O1M:

Із прямокутного ΔOO1M (∠O1OM=90⁰), у якого OM=d - катет і - гіпотенуза,
за теоремою Піфагора знайдемо катет OO1:

висота циліндра рівна

Знайдемо площу прямокутника AA1B1B (площу перерізу циліндра площиною β):

На цьому всі пункти ЗНО тесту розписано.

Задача 38.12 Радіус основи циліндра R. Площина перетинає бічну поверхню циліндра, але не перетинає основи й утворює кут alpha з площиною основи.
Знайти площу перерізу циліндра цією площиною.

Розв'язання: Площа круга з радіусом R – основи циліндра:
S_oc=πR².
Проведемо площину паралельно основі циліндра так, щоб задана площина перетиналась із нею.
Тоді в перерізі утвориться круг з центром O₂ і радіусом R.
Його площа дорівнюватиме площі основи:
S₂=S_oc=πR².
Маємо площину яка перетинає бічну поверхню циліндра і не перетинає основи.
В перерізі утвориться «фігура» з центром O₃ (далі просто «переріз»).
Кут між заданою площиною і площиною основи – це кут alpha між «перерізом» і утвореним кругом з центром O₂.
Утворений круг (як і основа циліндра) є ортогональною проекцією «перерізу» на площину основи, тому за теоремою

(Переріз, який утворився при перетині циліндра заданою площиною називається еліпсом (який виходить за рамки шкільної програми) з великою піввіссю і малою піввіссю b=R, тому його площа:).

Відповідь: – Г.

Задача 38.14 Через твірну циліндра проведено два взаємно перпендикулярні перерізи циліндра, площі яких дорівнюють 60 см² і 80 см². Знайти площу осьового перерізу.

Розв'язання: Маємо циліндр з твірною BB₁, через яку проведено два взаємно перпендикулярні перерізи – прямокутники AA₁B₁B і BB₁C₁C з площами відповідно.
Позначимо довжини твірних через H:
AA₁=BB₁=CC₁=H.
Площі прямокутників AA₁B₁B і BB₁C₁C обчислюються за формулами:

Звідси, AB=60/H, BC=80/H.
Розглянемо ΔABC, у якого AB⊥BC, оскільки перпендикулярні їх перерізи.

Тобто AB=60/H і BC=80/H – катети прямокутного ΔABC (∠ABC=90).
Звідси слідує, що відрізок AC – діаметр, тобто сторона осьового перерізу циліндра (бо прямий кут у колі спирається на діаметр).
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу AC:

Осьовий переріз – прямокутник AA₁C₁C зі сторонами AA₁=CC₁=H і AC=100/H. Площа осьового перерізу (прямокутника AA₁C₁C):

Відповідь: 100 см² – Г.

Задача 38.20 Дано циліндр з радіусом 2 і висотою 0,5. S(x) – площа перерізу циліндра площиною, паралельно до його осі, де x – відстань від осі циліндра до площини перерізу. Який з наведених графіків є графіком функції площі S(x)?

Розв'язання: Маємо циліндр з радіусом R=OA=OB=2 і висотою H=AA₁=BB₁=CC₁=0,5, де AA₁B₁B – це переріз циліндра площиною, що проведений паралельно до його осі OO₁ на відстані x. Оскільки переріз AA₁B₁B паралельний до осі циліндра, звідси слідує, що AA₁B₁B перпендикулярний до площини основи (круга) циліндра, тому AA₁B₁B – прямокутник з площею S_per=AB•AA₁=AB•H.
З центра основи циліндра (кола) проведемо перпендикуляр OM=x до площини перерізу AA₁B₁B – відстань від осі циліндра до перерізу AA₁B₁B. Оскільки переріз перпендикулярний до площини основи циліндра, то OM⊥AB.
Розглянемо ΔAOB, у якого R=OA=OB=2 як радіуси основи і OM=x – висота, що проведена до сторони AB. Звідси слідує, що ΔAOB – рівнобедрений з основою AB, а OM=x – медіана і бісектриса, проведені до основи AB, тобто маємо AB=2AM. Із прямокутного ΔAOM (∠AMO=90) за теоремою Піфагора знайдемо катет AM (OA=2 – гіпотенуза, OM=x – катет):
Площа перерізу (прямокутника AA₁B₁B):

Отримали графік функції четвертинки кола з центром (0;0) і радіусом r=2 (детальніше про це у розділі 41), що відповідає графіку Д.
Відповідь: Д.

Задача 38.26 Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 120⁰. Знайти площу перерізу, якщо висота дорівнює 10, а відстань від осі циліндра до січної площини дорівнює √3.

Розв'язання: Маємо циліндр з висотою H=10. Маємо переріз циліндра AA1B1B, який проходить паралельно осі OO1 циліндра і відтинає від кола основи дугу 120⁰ (за умовою задачі), а значить перпендикулярний до площини основи (за властивістю). Звідси слідує, що AA₁=BB₁=10 – висота циліндра. Площа перерізу:
S_пер=AB•AA₁=10AB.
Проведемо перпендикуляр OM до площини перерізу (OM⊥AB). Оскільки переріз AA₁B₁B перпендикулярний до площини основи, то відрізок OM=√3 – відстань від осі циліндра OO₁ до січної площини AA₁B₁B.
Проведемо відрізки AO і BO. Оскільки точки A і B належать основі циліндра (як точки перетину січної площини з основою циліндра), то AO=BO=R – радіуси основи.
∠AOB=120, оскільки він є центральним кутом вписаним у коло, що опирається на відповідну дугу.
Звідси слідує, що трикутник AOB – рівнобедрений з основою AB.

Тоді за властивістю:
OM – висота, медіана і бісектриса проведені до основи AB.
Отже, AM=BM=AB/2, тобто AB=2•AM і .
Із прямокутного трикутника AOM(∠AMO=90), у якого OM=√3 – прилеглий катет до кута ∠AOM=60 за означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо протилежний катет AM:

Отже, AB=2AM=6, тоді площа перерізу AA1B1B:

Відповідь: 60.

Задача 38.28 Із квадрата, діагональ якого дорівнює 2√π, згорнута бічна поверхня циліндра. Визначити площу основи циліндра.

Розв'язання: Маємо розгортку циліндра – квадрат AA₁A₁'A', причому
Нехай сторона квадрата дорівнює a (AA₁=A₁A₁'=A'A₁=AA'=a), тоді діагональ квадрата:

Але за умовою задачі маємо

Оскільки квадрат AA₁A₁'A' – розгортка циліндра, то довжина його сторони дорівнює довжині основи (кола) циліндра з радіусом OA=R.

Отже, a=2πR – довжина кола, звідси
– радіус кола, основи циліндра.
Площа основи циліндра:

Отже, Soc=0,5 – площа круга.
Відповідь: 0,5.

Задача 38.29 Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 60⁰. Твірна циліндра дорівнює 10√3, а відстань від осі до січної площини – 2. Знайти площу перерізу.

Розв'язання: Маємо циліндр з довжиною твірної AA₁=BB₁=10√3. Маємо переріз циліндра AA₁B₁B, який проходить паралельно осі OO₁ циліндра і відтинає від кола основи дугу 60⁰ (за умовою задачі), а значить перпендикулярний до площини основи (за властивістю). Звідси слідує, що H=10√3 – висота циліндра. Площа перерізу:
Sпер=AB•AA₁=10√3•AB.
Проведемо перпендикуляр OM до площини перерізу (OM⊥AB). Оскільки переріз AA₁B₁B перпендикулярний до площини основи, то відрізок OM=2 – відстань від осі циліндра OO1 до січної площини AA₁B₁B.
Проведемо відрізки AO і BO. Оскільки точки A і B належать основі циліндра (як точки перетину січної площини з основою циліндра), то AO=BO=R – радіуси основи.

∠AOB=60, оскільки він є центральним кутом вписаним у коло, що опирається на відповідну дугу. Звідси слідує, що трикутник AOB – рівнобедрений з основою AB. Тоді за властивістю:
OM – висота, медіана і бісектриса проведені до основи AB.
Отже, AM=BM=AB/2, тобто AB=2AM і ∠AOM=∠AOB/2=60/2=30.
Із прямокутного трикутника AOM(∠AMO=90), у якого OM=2 – прилеглий катет до кута ∠AOM=30 за означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо протилежний катет AM:

Отже, , тоді площа перерізу AA1B1B:

Відповідь: 40.

Просторові рисунки осьового перерізу циліндра, що тут наведені можуть бути використані вчителями та учнями при підготовці до презентацій по темі та в навчальних цілях. Якщо маєте задачі на перерізи цилідра, кулі, пірамід з добрими рисунками, то будь-ласка діліться з нами, ми в свою чергу опублікуємо та поширимо серед усіх читачів сайту.

Далі розглянемо завдання на знаходження висоти циліндра.