Кути в колі. Кути дуг

Приклади на визначення кутів у колі чи крузі надзвичайно багато. В школі в молодших класах простіші, далі такі як тут приведені.
Завдання підібрано із курсу підготовки до ЗНО з математики, тому можете зразу перевірити свої сили та побачити, що Вас чекатиме у ВУЗах на спеціальностях з математичним нахилом.

Задача 34.5 Яка кутова величина дуги завдовжки π /2 см у колі радіуса 3 см?

Розв'язання: Кут будемо виводити з формули для обчислення довжини дуги кола:
, де - відповідний центральний кут;
l=π/2 см - довжина дуги кола.

OM=OK=R=3 см - радіус кола.
Виводимо формулу кута через довжину дуги та радіус та обчислюємо

Відповідь: 30⁰ – Б.

Задача 34.9 На рисунку зображено коло з центром у точці O і рівносторонній трикутник AOB, що перетинає коло в точках M і N.

Точка D належить колу. Знайти градусну міру кута MDN.

Розв'язання: Маємо рівносторонній трикутник AOB з внутрішнім кутом 60⁰, тобто ∠AOB=60.
Маємо коло з центром у точці O, яке перетинає трикутник в точках M і N, звідси ∠MON=∠AOB=60 (∠MON - центральний кут, який спирається на дугу MN).
Точка D належить колу, тому ∠MDN - вписаний кут, який також спирається на дугу MN, тому за властивістю (вписаний кут дорівнює половині центрального кута, які спираються на одну й ту ж саму дугу) маємо:
∠MDN=∠MON/2=60/2=30.
Властивості вписаного кута, яка тут допомогла вирішити задачу Вт мабуть не знаєте, тож ще раз перечитайте та запам'ятайте.
Відповідь: 30⁰ – Б.

Задача 34.9a Площа кругового сектора радіуса 6 см дорівнює 5π см². Знайти кутову величину дуги.

Розв'язання: Виведемо кут через формулу для обчислення площі кругового сектора:
, де - кутова величина дуги;

OM=OK=R=6 см - радіус круга;
S_C=5π см² - площа кругового сектора, звідси

Відповідь: 50⁰ – Б.

Задача 34.12 До кола проведено дотичну AB (B - точка дотику) та січну AC, що проходить через центр O кола.
Знайти градусну міру кута COB, якщо ∠OAB=35.

Розв'язання: За властивістю кола: дотична до кола в точці дотику перпендикулярна до радіуса цього кола, тому OB - радіус кола і ∠ABO=90.

У ΔAOB маємо ∠OAB=35 і ∠ABO=90 - внутрішні кути, а ∠COB - зовнішній кут, який не суміжний з двома внутрішніми, тому за властивістю кутів трикутника, отримуємо
∠COB=∠OAB+∠ABO=35+90=125.
Відповідь: 125⁰ – Г.

Задача 34.12a Площа кругового сектора становить 15% площі круга.
Яка величина центрального кута сектора?

Розв'язання: Частина круга (сектор), яку обмежує дуга з центральним кутом alpha обчислюємо за формулою:
(дивись рис. 34.8-9а). За умовою, площа сектора 15%, тобто 0,15, отже
, звідси
Відповідь: 54⁰ – В.

Задача 34.13 Коло, радіус якого дорівнює 9, розігнуто в дугу, радіус кола якої дорівнює 24.
Знайти центральний кут, який стягує утворену дугу.

Розв'язання: Маємо коло з радіусом R₁=9, яке потім розігнули у дугу, радіус кола якої R₂=24 і центральним кутом alpha.

Очевидно, що довжина утвореної дуги l дорівнює довжині заданого кола.
Знайдемо довжину заданого кола:
l=2πR₁=2π•9=18π.
Довжину дуги l з центральним кутом alpha і радіусом кола R₂ можна обчислити за формулою:

звідси виводимо формулу кута

Відповідь: 135⁰ – В.

Задача 34.14 Точки A, B і C ділять коло на дуги у відношенні 2:3:4.
Знайти найбільший кут трикутника ABC.

Розв'язання: Градусна міра всього кола дорівнює 360⁰.

Нехай градусні міри дуг дорівнюють , де x - коефіцієнт пропорційності, тоді
, звідси знаходимо коефіцієнт x=40.
Далі перераховуємо кути дуг

Внутрішні кути ΔABC є вписаними кутами у коло і дорівнюють половині дуги, на яку вони спираються.
Найбільшим кутом ΔABC є кут B, оскільки він спирається на найбільшу дугу AC, тому

Відповідь: 80⁰ – Б.

Сподіваюсь, пояснення до розв'язків задач на кути в колі для Вас цілком зрозумілі. Формул та властивостей кутів у колі не так багато, але на їх основі можна привести ще безліч задач, які не ввійшли сюди з об'єктивних причин. Далі розглянемо приклади на знаходження площі круга, сегмента, сектора.

Вас може зацікавити:
1. Довжина кола. Задачі на довжину дуги кола
2. Радіус кола. Довжина хорди. Діаметр круга
3. Площа круга. Площа кругового сектора
4. Об'єм циліндра. 50 готових задач