Площа круга. Площа кругового сектора

Завдань на обчислення площі круга, сектора чи сегмента надзвичайно багато і їх всіх неможливо погрупувати та навести в одній статті. Тут взято приклади із підготовки до ЗНО з математики, в яких потрібно знайти площу круга чи його складових. Заодно зверніть увагу на побудову рисунків та саме оформлення розв'язків, оскільки при оцінюванні все має певний вплив на результат.

Задача 34.6 Знайти площу круга, у який вписано трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см.

Розв'язання: Формула для обчислення площі круга:
S= πR², де R - радіус круга.
Маємо a=8 см, b=6 см і c=10 см - сторони заданого трикутника, який вписаний у круг.

Неважко перевірити, що довжини цих сторін задовольняють теорему Піфагора:
c²=a²+b², або 10²=8²+6², тому заданий трикутник є прямокутним трикутником з катетами a=8 см, b=6 см і гіпотенузою c=10 см.
За властивістю: якщо прямокутний трикутник вписаний у круг (або коло), то гіпотенуза є діаметром кола, а радіусом є половина цієї ж гіпотенузи, отже
R=c/2=10/2=5 см - радіус круга,
S=πR²=25π см² - площа круга.
Відповідь: 25π см² – Г.

Задача 34.8 Знайти площу кругового сектора радіуса 3 см з центральним кутом 120⁰.

Розв'язання: Формула для обчислення площі кругового сектора:
, де - градусна міра відповідного центрального кута;

OM=OK=R=3 см - радіус круга, звідси

Відповідь: 3π см² – Б.

Задача 34.15 У коло, довжина якого дорівнює 6π см, вписано прямокутник ABCD.
M, N, K, L - середини сторін прямокутника.

Чому дорівнює периметр ромба MNKL?

Розв'язання: У прямокутника ABCD проведемо діагоналі AC і BD, за властивістю прямокутника AC=BD, а за властивістю прямокутника вписаного в коло діагоналі AC і BD є діаметрами цього кола.

Відрізки MN, NK, KL та ML є середніми лініями трикутників MBN, NCK, KDL та MAL відповідно, тому за властивістю , звідси MN=NK=KL=ML=R - радіус кола.
З формули C=2πR - довжини кола виводимо формулу радіуса

Обчислимо периметр чотирикутника (ромба) MNKL (MN=NK=KL=ML=3):

Відповідь: 12 см – В.

Задача 34.16a Знайти площу заштрихованої на рисунку частини квадрата зі сторогою a.


Розв'язання: Маємо квадрат ABCD зі стороною a. Проведемо частини 4 кругів з центрами у вершин квадрата і радіусами, що дорівнюють половині сторони квадрата r=a/2.
Отримаємо заштриховану фігуру, площу якої знайдемо як різницю площі квадрата і 4-х частин кругів (кожне з яких становить чверть усього круга), отже

Уважно перегляньте хід обчислень завдання. На ЗНО і вступних екзаменах подібні приклади не рідкість.
Відповідь: – Г.

Задача 34.17 На рисунку зображено квадрат зі стороною 1 і дуги кіл радіуса 1.
Знайти площу заштрихованої частини.

Розв'язання:Спершу виконуємо схематичну побудову до завдання
Без проблнм знаходимо площу квадрата зі стороною a=1:

Площа чверті круга з радіусом r=1:

Площа криволінійного трикутника:

Площа заштрихованої частини:

Подумайте, чому саме такий хід обчислень обрано, та які правила для цього потрібно знати.
Відповідь: π/2-1 – Д.

Задача 34.18 Довжина сторони правильного трикутника ABC дорівнює 6. Точки P, Q і R - середини його сторін. PR, PQ і QR - дуги кіл з центрами відповідно у точках A, B, C.

Знайти площу криволінійного трикутника PQR.

Розв'язання: Площа правильного трикутника ABC зі стороною a=AB=BC=AC=6 рівна:

Оскільки точки P, Q, R - середини сторін трикутника ABC то далі маємо.
PR, PQ, QR- дуги кіл з центрами відповідно у точках A, B, C (за умовою), то площі криволінійних трикутників (секторів) PAR, PBQ і QCR рівні відповідно.
Так як трикутник ABC правильний, то ∠A=∠B=∠C=60, тоді площа одного сектора з радіусом a/2 рівна:

Обчислюємо площу заштрихованої частини:

Відповідь: – Д.

Задача 34.23 Установити відповідність між заданими відношеннями радіусів двох концентричних кругів (1–4) та відношенням площі першого круга до площі кільця (А–Д).

Розв'язання: Маємо перший (більший) круг з центром O, радіусом R та другий (менший) круг з центром O, радіусом r.

Обидва круги є концентричними (за умовою), тому між ними є кільце. Площа більшого круга:
S₁=πR²
площа меншого круга:
S₂=πr²
площа кільця:
S=S₁-S₂=πR²-πr²=π(R²-r²)
Запишемо формулу відношення площі круга S₁ до площі кільця S:

Остаточний варіант

Виконуємо обчислення для кожного з відношень:
1. R:r=2:1, , 1 – В
2. R:r=3:2, , 2 – А
3. R:r=5:3, , 3 – Д
4. R:r=4:3, , 4 – Б.

Задача 34.27 Знайти площу S круга, описаного навколо правильного трикутника зі стороною 9 см. У відповідь записати S/π.
Розв'язання: Нехай маємо правильний трикутник ABC зі стороною a=9 см і внутрішнім кутом alpha=60.

Знайдемо площу правильного трикутника ΔABC:

Обчислимо радіус R описаного круга навколо правильного трикутникаΔABC:

Знайдемо площу S круга за формулою:

Обчислюємо кінцеве значення S/π=27.
Відповідь: 27.

Задача 34.28 Знайти площу S круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною 6 см. У відповідь записати S/π.
Розв'язання: Нехай маємо правильний шестикутник ABCDEF зі стороною a=6 см. Центр цього шестикутника співпадає з центром вписаного і описаного круга O.

Проведемо радіуси описаного круга до кожної вершини шестикутника ABCDEF, отримаємо шість рівних рівнобедрених трикутників. У кожного такого трикутника кут при вершині O становить alpha=360:6=60.
Оскільки у рівнобедреного трикутника хоча б один кут дорівнює 60⁰, то він є рівностороннім.
Розглянемо рівносторонній трикутник AOB зі стороною a=6 см.
Висота MO трикутника AOB є радіусом вписаного круга у шестикутник.
Знайдемо площу рівностороннього ΔABC:

Знайдемовисоту MO ΔABC - радіус r вписаного круга у правильний шестикутник ABCDEF:

звідси маємо

Знайдемо площу S вписаного круга у правильний шестикутник ABCDEF:

Розділимо на Пі S/π=27.
Відповідь: 27.

Задача 34.29 Два кола дотикаються, причому менше з кіл проходить через центр більшого кола (див. рисунок).

Знайти площу зафарбованої фігури (у см²), якщо менше з кіл обмежує круг площею 64 см².
Розв'язання: Маємо перший (більший) круг з центром у точці O₁ та другий (менший) круг з центром у точці O₂, який дотикається до першого круга у точці A та проходить через його центр O₁.
Тоді AO₁=R₁ - радіус першого круга, AO₂=O₁O₂=R₂ - радіус другого круга, причому між ними є залежність: R₁=AO₁+O₁O₂=2R₂.
Знайдемо радіус другого (меншого) круга, оскільки його площа за умовою задачі S₂=64 см²:
, звідси отримаємо

Знайдемо радіус і площу першого (більшого) круга):
, звідси

Обчислимо площу зафарбованої фігури (як різницю площ більшого і меншого круга)
S=S₁-S₂=256-64=192 cм²
Відповідь: 192.

Задача 34.30 Знайти відношення площ кругів, вписаного й описаного навколо квадрата.
Розв'язання: Нехай маємо квадрат ABCD зі стороною a. Опишемо і впишемо навколо квадрата круги з центром у точці O.

Оскільки радіус круга MO перпендикулярний до дотичної в точці дотику M, то за властивістю круга вписаного в квадрат, радіус вписаного круга дорівнює половині сторони квадрата: r=MO=a/2.
Проведемо радіус круга BO, описаного навколо квадрата ABCD.
Отримали прямокутний трикутник BOM (∠BMO=90, BM=MO=a/2).
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу BO=R - радіус описаного круга:
BO²=BM²+MO², звідси

Знайдемо площу вписаного круга:

Знайдемо площу описаного круга:

Знайдемо відношення площ кругів, вписаного й описаного навколо квадрата:

Відповідь: 0,5.

Наведені задачі на обчислення площі круга та сектора допоможуть багатьом з Вас при ЗНО підготовці, в шкільній практиці, обчисленнях. Рядом з цією публікацією Ви можете переглянути приклади на кути в колі, також знаходження радіусів кіл, хорд, довжин дуг. Формули, що тут даються можете впевнено застосовувати до однотипних завдань.
Практикуйте самостійно і бажаємо Вам отримувати лише правильні результати!

Вас може зацікавити:
1. Кути в колі. Кути дуг
2. Довжина кола. Задачі на довжину дуги кола
3. Радіус кола. Довжина хорди. Діаметр круга
4. Об'єм циліндра. 50 готових задач