Приклади на властивості елементарних функцій, знаходження їх області значень, парності та непарності функцій, періодичності Вам допоможуть при підготовці до ЗНО з математики та шкільній практиці. Наведені далі готові відповіді до прикладів із ЗНО підготовки допоможуть Вам швидко підготуватися в умовах обмеженого часу та відсутності репетиторів, чи в доповненні до них.
Розділ 22. Елементарні функції та їх властивості
Приклад 22.1 Графік функції, визначеної на проміжку [-5;4], проходить через одну з наведених точок (див. рисунок).
Указати цю точку.
Розв'язування: Інструкція з обчислень полягає в послідовному переборі точок, що містяться в варіантах тестів А-Д і співставленні їх значення з точками на декартовій площині. Далі дивимося чи проходить через кожну точку графік функції. Перша координата це значення по осі Ох, друга Oy.
Відповідь: (-3;1) – Г.
Область визначення простих функцій
Приклад 22.1а Знайти область визначення функції y=lg(x^2-6x+8).
Розв'язування: Множину значень, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції D(y).
Її ще називають областю допустимих значень (ОДЗ).
Ви повинні пам'ятати, що під логарифмом функція повинна приймати додатні значення.
Звідси маємо умову для визначення ОДЗ: x^2-6x+8>0,
(x-2)(x-4)>0,
(x-2)(x-4)=0,
Два знайдені нулі x=2, x=4 наносимо на числову вісь і встановлюємо знаки на проміжках.
Областю визначення заданого логарифма є два інтервали x∈(-∞;2)∪(4;+ ∞), що відповідають варіанту В тестів.
Відповідь: (-∞;2) ∪(4;+ ∞). – В.
Приклад 22.2 Знайти область визначення функції 
.
Розв'язування: Підкоренева функція повинна приймати значення більші або рівні нулю.
Це і є умова на встановлення області визначення:
5^(2x-3)-1≥0,
5^(2x-3)≥1,
5^(2x-3)≥5^0,
2x-3≥0,
2x≥3,
звідси x≥1,5.
Будуємо числову вісь та методом підстановки з'ясовуємо, де функція додатна.
Областю визначення є проміжок x∈[1,5;+∞).
Відповідь: [1,5;+∞). – В.
Приклад 22.3 Знайти область визначення функції 
.
Розв'язування: Маємо під коренем дробову функцію, вона повинна бути невід'ємною + знаменник дробу не повинен перетворюватися в нуль.
Звідси маємо умови на встановлення ОДЗ:
Особливі точки наносимо на числову вісь та встановлюємо знаки
Можемо записати область визначення кореневої функції x∈(-∞;-1)∪[4;+ ∞).
Відповідь: (-∞;-1)∪[4;+ ∞) – Д.
Приклад 22.4 Яка з множин є областю визначення функції 
?
Розв'язування: Маємо під коренем четвертого степеня логарифм. Змінна під логарифмом повинна бути більшою нуля, а коренева функція більша або рівна нулю.
Визначаємо ОДЗ з системи нерівностей:
Наносимо точки на числову вісь та заштриховуємо спільну область
Областю визначення є півінтервал x∈(0;3].
Відповідь: (0;3] – Д.
Приклад 22.5 Указати лінійну функцію, графік якої паралельний вісі абсцис і проходить через точку A(-2;3).
Розв'язування: Графік лінійної функції y=3 проходить через точку A(-2;3) і є паралельний вісі абсцис (функція від x не залежить).
Подумайте, чому тут неправильно буде вказати в тестах варіант В.
Відповідь: y=3 – Д.
Приклад 22.30 Установити відповідність між функціями (1–4) та областями їх визначення (А–Д).
Розв'язування:1) Щоб встановити області визначення для наведених складних функцій треба добре знати властивості елементарних функцій.
Логарифм визначений для всіх додатних значень змінної, звідси маємо нерівність (x+2)/(x-1)>0. Її розв'язуємо та методом інтервалів визначаємо знаки
Друга функція є коренем четвертого порядку, тому підкоренева функція (x-2)/(x+2) повинна бути більша або рівна нулю.
Крім цього знаменник дробової функції не повинен перетворюватися в нуль. Пам'ятайте про це при аналізі завдань. Складаємо систему із двох нерівностей та знаходимо спільну область визначення.
Для 3) корінь кубічний може приймати будь-які значення, але знаменник дробу (x-1)≠0 не повинен дорівнювати нулю. Ця точка розбиває множину дійсних розв'язків на два інтервали, що відповідають варіанту А тестів.
Для 4) в показнику маємо дріб, знаменник якого (x-2)≠0 не повинен перетворюватися в нуль. Точка x=-2 не належить області визначення, всі решта значення дають можна об'єднати у два інтервали x∈(-∞;-2)∪(-2;+∞).
Поступайте аналогічним чином в такого типу завданнях.
Відповідь: f(x+1)=-x/(x+2) – В.
Тема складних функцій добре розписана у вигляді окремої статті, оскільки в один урок весь матеріал не просто вмістити, а з останнього прикладу ви бачите, що обчислення громіздкі. Також окремо розглянуті приклади на параболу y=ax^2+bx+c та знаходження знаків a, b, c з ескізів графіків. Загалом розв'язано понад 50 прикладів, які ще плануємо доповнити більш простими варіантами для школярів.
