ЗНО підготовка з математики. Арифметична прогресія

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе підготуватися до зовнішнього оцінювання 2017 року. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ 1. Числа

В завданнях 1.37 - 1.68 правильна відповідь оцінюється 2 балами.

Завдання 1.48 (Т-06, 21) Обчисліть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 2, а сьомий - 20.
Розв'язання: Випишемо умову задачі в позначеннях
а[1]=2; а[7]=20.
Виразимо 7 член арифметичної прогресії через перший член. Це дозволить обчислити крок прогресії
а[7]=а[1]+6*d;
6*d=20-2=18;
d=18/6=3.
Обчислимо останній член суми прогресії
a[20]=a[1]+19*d=2+19*3=59.
Знаходимо суму арифметичної прогресії за формулою
S=(2+59)/2*20=610.
Відповідь: 610.

Завдання 1.49 Сума третього і дев'ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 8. Знайдіть суму перших одинадцяти членів прогресії.
Розв'язання: Завдання, як і попереднє, на суму прогресії. Запишемо умову задачі формулою
а[3]+ а[9]=8 S=(a[1]+a[11])/2*11 ?
Розпишемо відомі члени прогресії через ті, що фігурують в формулі суми
а[3]=а[1]+2*d;
a[11]=a[9]+2*d=18;
a[9]=a[11]-2*d.
При їх сумуванні різниця прогресії спрощується
a[3]+a[9]=a[1]+2*d+a[11]-2*d= a[1]+a[11]=8
і отримаємо вираз, який підставляємо в суму прогресії
S=8/2*11=44.
Використовуйте дану методику при обчисленні суми арифметичної прогресії.
Відповідь: 44.

Завдання 1.50 Знайдіть різницю арифметичної прогресії (а[n]), якщо відомі два її члени: а[7]=7, а[9]=-9.
Розв'язання: Міркування досить прості і ґрунтуються на властивостях прогресії. Записуємо залежність 9 члена арифметичної прогресії через 7 та крок прогресії
а[9]=а[7]+2*d.
З цієї залежності знаходимо різницю прогресії
-9=7+2*d;
2*d=-9-7=-16;
d=-16/2=-8.
Ось такі прості дії можуть добавити 2 бали при тестуванні.
Відповідь:-8.

Завдання 1.51 (Т-07, 38) Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.
Розв'язання: Запишемо арифметичну прогресію у вигляді ряду 1,3, …a[12].
Знайдемо останній член із суми прогресії
а[12]=1+2*11=23.
Обчислюємо суму 12 членів заданої прогресії
S=(1+23)/2*12=12*12=144.
Сума прогресії рівна 144.
Відповідь: 144.

Завдання 1.52 Знайдіть суму перших 11 членів арифметичної прогресії, знаючи, що її шостий член дорівнює 4.
Розв'язання: Для знаходження суми прогресії потрібно виписати рекурентні формули, які зв'язують крайні члени прогресії з 6. Випишемо відповідні формули членів прогресії
a[11[=a[6]+5*d; a[1]=a[6]-5*d.
Підставимо записи у формули суми прогресії та спростимо
S= (a[1]+ a[11])/2*11= (a[6]-5*d+ a[6] +5*d)/2*11= a[6]*11=4*11=44.
При знанні властивостей арифметичної прогресії подібні задачі добавлять необхідні бали на тестуванні.
Відповідь: 44.