ЗНО математика. Логарифмічні рівняння та нерівності

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе при підготовці до зовнішнього оцінювання 2017 року з математики. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень при підготовці до тестування, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ II. Рівняння і нерівності

Завдання 11.79 Визначте кількість цілих розв'язків логарифмічної нерівності

Розв'язання: Задано логарифмічну нерівність з основою логарифма рівною 90. Областю визначення логарифма є значення більші за 11. За властивістю логарифма зведемо доданки під один та запишемо праву сторону у вигляді логарифма з основою 90.

Розкриваємо логарифмічну нерівність і приходимо до такої

Переносимо 90 за знак нерівності і, розкриваючи дужки, зводимо до квадратичної нерівності
x²-21*x+20=0;
За теоремою Вієта розв'язками квадратного рівняння будуть значення 1 і 20. Між коренями квадратична нерівність виконується, але маємо ще обмеження на область визначення логарифма, тому кінцевим розв'язком нерівності є інтервал
Випишемо в ряд цілі значення, що належать проміжку 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 – 9 коренів.
Якщо Ви під час обчислень не врахуєте ОДЗ, то отримаєте більше коренів, що є неправильною відповіддю. Відповідно на тестах ЗНО з математики можете отримати менше балів. Тому раджу виписувати обмеження на розв'язки на початку аналізу рівнянь і нерівностей.
Відповідь: 9.

Завдання 11.80 Розв'яжіть логарифмічне рівняння lg(log₂(log₃x))=0 .
Розв'язання: Маємо вкладене логарифмічне рівняння. Розкриваємо його від останнього до внутрішнього модуля
log₂(log₃x)=10⁰=1;
log₃x=2¹=2;
x=3²=9.
Ось такі прості бувають обчислення, якщо знати властивості логарифма. Для перевірки можете підставити значення у рівняння і обчислити в оберненому порядку.
Відповідь: 9.

Завдання 11.81 Розв'яжіть логарифмічне рівняння log₂(х - 4)=3.
Розв'язання: Перетворимо логарифмічне рівняння до лінійного
x-4=2³=8.
Далі знаходимо розв'язок логарифмічного рівняння
x=8+4=12.
Початкову формулу розкриття логарифма або потенціювання Ви повинні знати на "зубок". Без неї тема логарифма і розв'язування логарифмічних рівнянь втрачає будь-який зміст.
Відповідь: 12.