ЗНО математика. Системи логарифмічних та показникових рівнянь

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе при підготовці до зовнішнього оцінювання 2017 року з математики. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень при підготовці до тестування, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ II. Рівняння і нерівності

Завдання 11.77 Розв'яжіть систему рівнянь

Знайдіть суму х₀ + у₀ для одержаного розв'язку (х₀;у₀) системи рівнянь.
Розв'язання: Маємо систему рівнянь, яка в собі об'єднує показникове, лінійне і модульне рівняння. Перше рівняння
y=|x-2|+3
описує модуль функцію зміщену по осі абсцис на 2 вправо і підняту на 3 вгору. Друге
y=2^x+1
показникову функцію з двійкою в основі. Друге рівняння в заданому вигляді підставляємо у перше
2^x+1-3=|x-2|
Не важко здогадатися, або й отримати з побудови, що розв'язком є значення
x=1; 4-3=|1-2|.
Знайдемо другий корінь системи рівнянь
y=2^2=4.
Залишилося обчислити суму розв'язків
4+1=5.
Відповідь: 5.

Завдання 11.78 Розв'яжіть систему рівнянь

Знайдіть найменшу суму х₀ + у₀ , якщо (х₀;у₀) є розв'язком системи рівнянь.
Розв'язання: В заданій системі перше рівняння є показниковим, друге – логарифмічним. З області визначення логарифма слідує, що корені системи повинні бути додатними. Спростимо друге рівняння звівши логарифми під один
log₂(x*y)=log₂30.
Основи логарифмі в рівні – прирівнюємо значення
x*y=30.
Перетворимо показникове рівняння, для цього подамо число 256 як 4 в 4 степені.

Звідси отримаємо наступне рівняння, яке зв'язує невідомі
2*x-y=4.
Виразимо одну зі змінних та підставимо в отримане вище рівняння
y=2*x-4;
x*(2*x-4)=30.
Розкриваючи дужки, прийдемо до квадратного рівняння вигляду
x^2-2*x-15=0.
За теоремою Вієта його можна розписати на прості множники
(x-5)(x+3)=0,
тобто корені рівняння рівні
x=-3; x=5.
Перше значення відкидаємо, оскільки воно не належить області визначення логарифма. Друге підставимо у рівняння
x*y=30.
5*y=30;
y=30/5=6.
Знаходимо суму розв'язків системи рівнянь
5+6=11.
Якщо не виконувати перевірки на область визначення, то можна отримати від'ємну пару коренів системи і меншу суму, однак це не буде правильною відповіддю. За цим завжди потрібно слідкувати, не завжди міркування, що менше то краще є правильним.
Відповідь: 11.