ЗНО математика. Розв'язок логарифмічного рівняння

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе при підготовці до зовнішнього оцінювання 2017 року з математики. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень при підготовці до тестування, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ II. Рівняння і нерівності

Завдання 11.82 Знайдіть суму коренів рівняння log₃(х²-3*х)²-1оg₃(1-2*х)² =1оg₃ 4.
Розв'язання: Маємо логарифмічне рівняння, обчислення якого полягає в зведенні логарифмів під один і далі розкритті логарифма. В результаті описаних операцій отримаємо рівняння
(x²-3x)²/(1-2x)²=2²;
Яке перенесенням відомих в одну сторону зводиться до дробового рівняння
дробове рівняння
Чисельник можна розкласти на прості множники
(x+2)(x-1)=0.
Звідси знаходимо розв'язки логарифмічного рівняння
x=1; x=-2.
За умовою завдання знаходимо суму коренів
-2+1=-1.
Відповідь: -1.

Завдання 11.83 (Т-07, 12) Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння 1оg₈(х + 2) = 1оg₈(2*х - а) має корені.
Розв'язання: Багатьом школярам незрозуміло, як обчислювати рівняння. Якщо розкривати модулі то отримаємо, що параметр залежний від змінної, а яке значення змінної брати ніхто не знає. Правильний хід обчислень полягає в аналізі, який ми вчимо, вимагаємо виконувати при розгляді всіх рівнянь – це область визначення функції. Перша функція під логарифмом повинна бути більшою нуля
x+2>0; x>-2.
Далі аналізуємо дві прямі
y=x+2 і y=2*x-a.
Вони мають точку перетину, якщо параметр a>-4. Найменше ціле значення рівне -3.
Відповідь: -3.

Завдання 11.84 (Т-07, 31) Розв'яжіть систему рівнянь

Запишіть у відповідь добуток х₀* у₀, якщо пара (х₀; у₀) є розв'язком вказаної системи рівнянь.
Розв'язання: Маємо систему двох рівнянь, одне з яких показникове , а друге - логарифмічне. Спростимо логарифмічне рівняння
y-x=(1/2)-2=4.
Далі в першому рівнянні можна 32 записати як 2 в 5 степені. Показникове рівняння при цьому набуде вигляду

Основи рівні, тому прирівнюємо показники, при цьому враховуємо знайдену залежність між невідомими
y=x+4.
Далі підстановкою знаходимо розв'язок системи рівнянь
2*y-x= 2(x+4)-x=5;
x=5-8=-3;
y=x+4=-3+4=1.
За умовою обчислюємо добуток розв'язків (-1)*3=-3.
Відповідь: -3.