ЗНО математика. Ірраціональні рівняння 2

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе підготуватися до зовнішнього оцінювання 2017 року. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ II. Рівняння і нерівності

Завдання 2.40 Розв'яжіть рівняння:
ірраціональне рівняння
Розв'язання: Метод розкриття ірраціональності доволі довгий і Ви ним навряд чи скористаєтеся при тестуванні. Простіше отримати розв'язок рівняння з аналізу функцій. З вигляду бачимо, що якщо від першої підкореневої функції відняти другу то в результаті отримаємо квадратичну залежність, яка стоїть за знаком рівності. Окрім цього, з логічних міркувань корені завжди додатні , а функція за знаком рівності вже при x>4 стає від'ємною. Якщо аналізувати графіки функцій, то в коренях стоять параболи з вітками вгору, а за знаком рівності парабола з вітками донизу. Також корені, як правило, повинні містити квадрати чисел, так як сума підкореневих виразів має бути цілим числом.
Виконаємо пошук розв'язку підстановкою.
В 0 рівняння перетворюється на наступне

Далі перевіряємо одиницю

Як бачите, ліва частина рівняння спадає, а права зростає – значить близько має бути рівноважна точка. Перевіримо двійку

Отже x=2 є розв'язком рівняння. Графік функцій наведено нижче

графік функції
Відповідь: 2.

Завдання 2.41 Розв'яжіть рівняння та запишіть у відповіді найменший корінь.
Розв'язання: Маємо ірраціональне рівняння, причому справа в коренях стоять параболи з вітками вгору, а зліва – парабола з опущеними вітками. Перетином може бути від 0 до 2 точок. З того, що корені приймають додатні значення обмежимо область визначення
15-x²0;
x²<15.
x^2>5.
Отже корінь рівняння має належати інтервалами

Також варто зауважити, що скрізь маємо парні функції, тобто корені симетрично розміщені відносно початку координат. Виконаємо перевірку крайнього цілого числа

Отже один корінь рівний 3, тоді другий – (-3). Графік функцій наведено нижче

графік функції

За умовою записуємо найменший розв'язок із знайдених.
Відповідь: -3.

Завдання 2.42 Розв'яжіть рівняння
ірраціональне рівняння
Розв'язання: Рівняння складне тільки на вигляд. В чисельнику спрaва і зліва від знаку рівності стоять однакові корені, які можна розписати у вигляді простих множників
(x+2)(x-1).
Крім того знаменники різні, а це значить що рівність виконується коли чисельник рівний нулю або рівні пропорції в рівняннях. Отримуємо дві точки
x=-2; x=1.
Одна з них -2 - не є коренем, оскільки є нулем знаменника.
Залишається один розв'язок рівняння x=1.
Відповідь: 1.