Приклади з ймовірності на згоду кредиту банками

Далі будуть розв'язані задачі, які задавали студентам ЛНУ ім. І.Франка та "Львівської Політехніки" при проходжені практикуму з ймовірності. Маємо 4 приклади, які розбили на дві публікації, щоб не завантажувати Вас довгим читанням. Декому достатньо буде прочитати лише перші 2 приклади, щоб повторити наведені або подібі завдання самостійно.

Приклад 1 Для отримання кредиту підприємець звертається до чотирьох банків. Ймовірність того, що перший банк не відмовить йому у наданні кредиту, становить p₁=0.8, другий – p₂=0.2, третій – p₃=0.45 і четвертий – p₄=0.85.
Знайти ймовірності, що:

а) тільки один банк дасть згоду на кредитування;
б) хоча б один банк дасть згоду на кредитування;
в) не менше двох банків дадуть згоду на кредитування;
г) тільки три банки дадуть згоду на кредитування;
д) лише чотири банки дадуть згоду на кредитування;
е) більше двох банків дадуть згоду на кредитування.

Розв'язання: Виконуємо стандартні для ймовірності позначення
p_i - ймовірність, що і-тий банк дасть згоду на кредитування;
q_j - ймовірність, що j-тий банк не дасть згоду на кредитування q_j=1-p_j.
а) Далі будуть дані пояснення, що означає кожна з умов та як це відобразиться на розрахункових формулах. Готових відповідей наведено декілька, тож кожен може знайти відповідь на питання, які виникають після першого знайомства з такого сорту задачами на ймовірність.
Перша умова "тільки один банк дасть згоду на кредитування" рівносильна в обчисленнях тому, що один банк дасть, а три не дадуть і всі можливі комбінації з цього, тобто

Як бачите формула не важка, єдина проблема, що маємо 4 банки і відповідно отримаємо суму чотирьох доданків по 4 множники в кожному. Можливо Вам зададуть приклад на 3 банки і обчислення будуть простіші, але суть формули не поміняється.

б) Умова "хоча б один банк дасть згоду на кредитування" відповідає випадку, коли згоду на кредитування дадуть від 1 до 4 банків.
Це, в свою чергу є протилежною подією до такої "ні один банк не дасть згоду на кредитування", тобто

Це швидший спосіб, осільки стандартним методом довелось би шукати 4 ймовірності, як в попередньому завданні, а далі їх сумувати. Завжди шукайти спосіб знайти правильну відповідь за менше число дій (ітерацій). Також це хороший спосіб продемонструвати викладачеві, що Ви добре знаєте теоретичний матеріал і на основі набору теорем можете знайти легший варіант розрахунків з усіх можливих.

в) Умова "не менше двох банків дадуть згоду на кредитування" є протилежною подією до 2 наступних:
а), що "тільки один банк дасть згоду на кредитування"
і , що жоден банк не дасть кредиту:

Одне значення вже відоме, тому тут невідомий добуток ймовірностей протилежних подій.

г) Умова "тільки три банки дадуть згоду на кредитування" рівносильна тому, що 3 банки дадуть, а 1 банк не дасть. На мові формул це рівносильно запису

На основі аналізу ймовірнісних формул можете зробити висновки, як знаходити відповіді на наступні запитання.

д) Імовірність, що "лише чотири банки дадуть згоду на кредитування" рівна добутку p_j, що кожен банк дасть згоду на кредитування:

Це одна з легких умов серед заданих.

е) Умова "більше двох банків дадуть згоду на кредитування" означає, що згоду дадуть або 3 або 4 банки, що рівносильно умовам г) + д):
p=0.3457+0.0612=0.4069
Ось такими можуть бути пояснення до завдань з теорії ймовірностей, якщо розібратися в теорії та навчитися поєднувати весь доступний багаж знань.
Наведемо Вам фрагмент знаходженження тих же самих відповідей в математичному пакеті Мейпл

Про це піде мова у наступному уроці, а тепер перегляньте пояснення ще до одного прикладу.

Приклад 2 Для отримання кредиту підприємець звертається до чотирьох банків. Ймовірність того, що перший банк не відмовить йому у наданні кредиту, становить p₁=0.7, другий – p₂=0.3, третій – p₃=0.35 і четвертий – p₄=0.75.
Знайти ймовірності, що:

а) тільки один банк дасть згоду на кредитування;
б) хоча б один банк дасть згоду на кредитування;
в) не менше двох банків дадуть згоду на кредитування;
г) тільки три банки дадуть згоду на кредитування;
д) лише чотири банки дадуть згоду на кредитування;
е) більше двох банків дадуть згоду на кредитування.

Розв'язання: Позначення q_j, p_j ідентичні до попередніх. Взагалі вони незмінні для даного предмету, p_j ймовірність позитивного виконання події, q_j - імовірність, що подія не відбулася.
а) Тут нічого нового, а лише повторення вже раніше поясненого.
Умова "тільки один банк дасть згоду на кредитування" рівносильна в обчисленнях тому, що один банк дасть, а три не дадуть, тобто перший дасть кредит , а три наступні ні або 2 банк дасть кредит, а всі решта ні і т.д.

Імовірність події рівна 0.215.

б) Умова "хоча б один банк дасть згоду на кредитування" рівносильна тому, що згоду на кредитування дадуть від 1 до 4 банків. Як вже наголошено в попередніх поясненях, це веде до сумування 4 доданків, що не є найоптимальніше та часто веде до помилок в обчисленнях.
Легше знайти імовірність протилежної події «ні один банк не дасть згоду на кредитування», а тоді від повної ймовірності відняти отримане значення

Отримаємо p=0.9659.

в) Умова "не менше двох банків дадуть згоду на кредитування" означає, що або 2 або 3, або 4 банки дали кредит. Протилежна до неї - це або один банк дав кредит або жоден не дав кредит. Її легше знайти, оскільке один з доданків маємо з пункту а).
В підсумку отримаємо p=0.7509:

Попробуйте самостійно без підказок обчислити подібне завдання і Ви знатимете, де у Вас не все гаразд та на що саме варто звернути увагу при читанні наведених тут відповідей.

г) Тільки три банки дадуть згоду на кредитування означає, що один з них не дасть. Оскільки маємо 4 банки, то відповідно отримаємо або 1 або 2 або 3 або 4 банк не дасть кредиту, що на мові формул відповідає запису:

д) Умова "лише чотири банки дадуть згоду на кредитування" дорівнює добутку ймовірностей, що кожен банк дасть згоду на кредитування:

е) Більше двох банків дадуть згоду на кредитування означає, що згоду дадуть або 3 або 4 банки, що вже відомо з двох попередніх пунктів:
p=0.273+0.0551=0.3281

Сподіваємось, що підготовлені відповіді будуть служити Вам доброю інструкцією на перший час та допоможуть вирішити задачі подібної тематики.
В наступному уроці розглянемо, ще два ідентичні приклади тільки з іншими ймовірностями отримати кредит в банку + схему, як оптимізувати розрахунки за допомогою математичних пакетів.