Означення. Колінеарними називають вектори, які паралельні між собою або лежать на одній прямій.

Умова колінеарності:

  • два вектори колінеарні якщо пропорційні їх координати
    ax/bx=ay/by=az/bz.
  • вектори a(a1;a2;a3) і b(b1;b2;b3) колінеарні, якщо можна знайти таке число k, що виконується відношення
    b=k•a: b1=k•a1; b2=k•a2; b3=k•a3.

Основні властивості колінеарних (паралельних) векторів, які Ви повинні вивчити та знати, наведено на схемі

колінеарні вектори, властивості колінеарних векторів
В 10,11 класі учні це вчать, ми тільки повторюємо матеріал та готуємо Вас до іспитів. Далі наведені готові розв'язки ЗНО тестів.
Для швидкого завантаження сторінок ми не ставили знак вектора, хоча при розв'язуванні потрібно. За правильний приймайте запис векторів, який фігурує у формулах.

Приклад 42.25 Установити відповідність між назвами формул для векторів a(a1;a2;a3) і b(b1;b2;b3) (1–4) та формулами (А – Д).

1. Довжина вектора |a|
2. Скалярний добуток векторів a·b
3. Умова перпендикулярності векторів a⊥b
4. Умова колінеарності векторів a і b

Розв'язування: У попередніх уроках всі ці формули використовувалися, тому просто випишемо їх:
1. Довжина вектора a:
Б.
2. Формула скалярного добутку векторів (a,b):
Г.
3. Умова перпендикулярності векторів a⊥b:
a⊥b, якщо умова перпендикулярності векторів Д.
4. Умова колінеарності векторів a||b:
В.

 

Приклад 42.7 Серед векторів a(4;14;2), b(2;7;-1), c(0;0;3), d(-6;-21;3) знайти колінеарні.

Розв'язування: Вектори колінеарні, якщо лежать на паралельних або на одній прямій. Якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні!
Перевіримо колінеарність векторів a і b:

координати не пропорційні, отже вектори a і b не є колінеарними.
Перевіримо колінеарність векторів a і c:

умова колінеарності не виконується, вектори a і c не є колінеарними.
Перевіримо колінеарність векторів a і d:

умова не виконується, вектори a і d не є колінеарними.
Перевіримо колінеарність векторів b і c:
звідси вектори b і c не є колінеарними.
Перевіримо колінеарність векторів b і d:

координати пропорційні, отже вектори b і d колінеарні.
колінеарні вектори, ЗНО тести
З рисунку до умови можна побачити, що лише вектори b і d паралельні. Коефіцієнт пропорційності -3 вказує на те, що вектори напрямлені в протилежну сторону і вектор d по довжині (модулю) втричі більший за вектор b.
Відповідь: b і d – Д.

 

Приклад 42.8 За якого значення параметра n вектори a(n+5;-8;n+1) і b(5;1-n;3) колінеарні.

А

Б

В

Г

Д

±5

±5; 9

-9

5

5; 9

Розв'язування: Якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні, тобто для векторів a(ax;ay;az) і b(bx;by;bz) має виконуватися умова:
умова колінеарності векторів
За умовою a(n+5;-8;n+1) і b(5;1-n;3) маємо

Розв’яжемо рівняння:
умова колінеарності
за теоремою Вієта отримаємо
n1=5, n2=-9.
Тепер перевіримо, чи отримані розв’язки задовольняють умову колінеарності з третьою координатою:

колінеарн вектори, ЗНО
Робимо висновок, що при n=5 задані вектори a і b задовольняють умову , тому їх координати пропорційні, а самі вектори a(10;-8;6) і b(5;-4;3) колінеарні. На рисунку ці вектори є паралельними.
Відповідь: 5 – Г.

 

Приклад 42.36 Дано вектори a(-2;0), b(1;-1) і c(2;3).
За якого значення параметра k вектори 2a-k•b і c будуть колінеарними?
Розв'язування: Знайдемо координати вектора 2a-k•b:

Вектори 2a-k•b і c колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні:

При k=-2,4 вектори 2a-k•b і c (тобто 2a-k•b=(-1,6;-2,4) і c(2;3)) будуть колінеарними.
Відповідь: -2,4.

Наведені приклади найбільш поширені, і в 10, 11 класі Ви їх проходили, принаймі мали розбирати. Попереду завдання на обчислення скалярного добутку векторів, обчислення кутів між векторами та розв'язування задач на суму та різницю векторів.

    Вас може зацікавити:
  1. Скалярний добуток (a,b)
  2. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розклад вектора за базисом
  3. Розклад вектора за базисом
  4. Довести що вектори утворюють базис