Продовжуємо розбирати готові відповіді на правило Лопіталя та зведення невизначеностей 1^∞, 0^0, 0^∞ під це правило. Всі випадки розглянути неможливо, однак 15 прикладів, що далі наведені допоможуть розібратися з алгоритмами обчислення границь кожного уважного студента.
Метод логарифмування розкриття невизначеностей в границях
Приклад 16 Обчислити границю за формулою Лопіталя limit(x^(1/(1-x)),x→0)
Розв'язування: Границя має особливість типу 1^∞. Для застосування методу логарифмування за нову функцію позначимо y=x1/(1-x). Тоді прологарифмувавши, отримаємо
ln(y)=ln(x1/(1-x))=ln(x)/(1-x).
За правилом Лопіталя розкриваємо невизначеність виду 0/0
Це ще не кінцева відповідь, щоб знайти y потрібно експоненту піднести до степеня рівного знайденій границі.
ln(y)=-1 →y=e-1=1/e.
Приклад 17 Розкрити невизначеність за правилом Лопіталя
Розв'язування: Маємо невизначеність типу нуль в степені нуль 0^0. Поступаємо за схемою для показникових функцій, а саме – логарифмуємо вираз в ліміті.
y=(arcsin(x))2x;
ln(y)=2x•ln(arcsin(x)).
При розкритті невизначеностей застосовуэмо правило Лопіталя двічі
Тут потрібно брати похідну від ln(arcsin(x)), як від складеної функції, пам'ятайте про це.
Приклад 18 Знайти границю користуючись правилом Лопіталя
Розв'язування: Підставлення аргумента рівного 90 градусів дає невизначеність типу одиниці в степені безмежність 1^∞. Згідно алгоритму обчислення границі, функцію під лімітом слід прологарифмувати. Далі знайти границю логарифма, а далі експонента в степені отриманого значення і буде відповіддю до завдання. Проведемо обчислення
y= tan(x)sin(x);
ln(y)=ln(sin(x))^tan(x)=tan(x)•ln(sin(x)).
Скористаємося правилом Лопіталя, попередньо замінивши тангенс на котангенс за формулою tan(x)=1/cot(x).
Але це, ще не відповідь, потрібно потенціювати 0.
ln(y)=0 →y=e0=e.
Зведення невизначеностей в границях під правило Лопіталя
Приклад 19 Уявне підставлення x=2 в функцію дає невизначеність виду 0/0, тому застосовуємо правило Лопіталя однократно, а далі без труднощів обчислюємо ліміт.
Приклад 20 Спершу підставленням переконуємося, що маємо невизначеність виду 0/0. За формулою Лопіталя обчислюємо похідну чисельника та знаменника за змінною, щоб розкрити невизначеність.
Приклад 21 Маємо частку поліномів без вільного члена, що в граничній точці дає особливість виду 0/0. Для її розкриття за правилом Лопіталя диференціюємо кожен поліном доки не отримаємо частку, яку можна обчислити підстановкою
Приклад 22 В чисельнику маємо x^2, в знаменнику 2^x.
Розв'язування: Оскільки аргумент прямує до безмежності, то пряма підстановка дає особливість виду ∞/∞. ЇЇ розкриваємо двічі беручи похідні чисельника та знаменника по "x".
Приклад 23 Маємо частку функцій e^x, x^a. В такого сорту прикладах правило Лопіталя застосовують до тих пір, поки в знаменнику не отримаємо факторіал числа a!
Запам'ятайте, що обмежень на кількість повторних застосувань правила Лопіталя немає, похідні знаходимо доти, доки маємо одну з невизначеностей 0/0 або ∞/∞.
Приклад 24 Чергове завдання на розкриття невизначеності типу ∞/∞ розв'язуємо шляхом диференціювання окремо чисельника x^a та знаменника ln(x).
Приклад 25 Маємо частку функцій f(x)=arctan(x) та g(x)=e3x-1. В нулі вони дають невизначеність виду 0/0, тому маємо всі підстави застосувати правило Лопіталя.
Оскільки вирази e^3x→1 та 1/(1+49x^2) →1 коли x→0, то границя рівна 7/3.
Приклад 26 За алгоритмом, щоб розкрити невизначеність ∞/∞ двічі застосовуємо правило Лопіталя.
Приклад 27 Переходимо від невизначеності типу нуль помножити на безмежність до безмежність розділити на безмежність, яку розкриваємо за правилом Лопіталя через диференціювання чисельника та знаменника дробу. Уважно перегляньте схему переходу від однієї невизначеності до іншої і запам'ятайте, що коли маємо добуток логарифма на іншу функцію, то в знаменник переносимо останню, а не логарифм.
Приклад 28 Пряма підстановка дає невизначеність нуль помножити на безмежність 0*∞
Щоб її позбутися та застосувати правило Лопіталя в штучний спосіб котангенс переносимо в знаменник дробу, а далі замінюємо 1/ctg(x)=tg(x). В такий спосіб дістаємо особливість у виді частки нескінченно малих функцій, розкриваємо диференціюванням за Лопіталем та підстановкою x=0.
Розкриття невизначеностей ∞-∞
Границі з невизначеністю ∞-∞ розкриваємо також за правилом Лопіталя, але попередньо проводимо певні елементарні дії над доданками, щоб перейти від різниці нескінченно великих функцій до частки.
Приклад 29 Формули нижче добре ілюструють як двічі застосовували диференціювання чисельника та знаменника дробу, щоб позбутися невизначеності 0/0.
Приклад 30 Маємо невизначеність виду ∞-∞, яку розкриваємо шляхом зведення дробів до спільного знаменника. Далі за правилом Лопіталя обчислюємо похідні чисельника і знаменника, і так двічі.
І лише коли позбуваємося невизначеності виконуємо підстановку аргументу в границю. Думаємо, для того, щоб почати розв'язувати завдання на правило Лопіталя 30 наведених прикладів цілком достатньо. Якщо маєте труднощі з розрахунковими чи модулями, то завжди можете звертатися до нас за допомогою!
Переглянути подібні матеріали
