Знайти середню лінію трапеції

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини її бічних сторін.

З цього випливає багато властивостей і наслідків, про які часто не наголошують на уроках.
Довжина середньої лінії трапеції рівна півсумі основ
m=(a+b)/2.
Щоб довести формулу достатньо провести пряму, як на рис 1.
Тоді DM=BC=b, а сторона AM трикутника ABM рівна AM=a+b.
Оскільки m=EF є середньою лінією розглянутого трикутника, то вона рівна половині сторони AM, тобто
m=EF=AM/2=(a+b)/2.

Властивість 1: Площа трапеції ABCD рівна площі трикутника ABM.
Це легко довести, оскільки трикутники BCF і FDM рівні між собою.

Властивість 2: Відрізок, що сполучає точки перетину діагоналей з середньою лінією рівний піврізниці основ.
MN=(a-b)/2.
Доведення: Розглянемо рис.2, відрізки EM, NF, які відтинають діагоналі від середньої лінії трапеції, є середніми лініями трикутників ABC, BCD відповідно. Тому за теоремою Фалеса рівні половині сторони BC, тобто
EM, NF=b/2.
Щоб знайти MN залишилося від повної середньої лінії трапеції відняти відрізки EM, NF:
MN=EF-EM-NF=(a+b)/2-b/2-b/2=(a-b)/2.
На вказаних формулах та властивостях трапеції ґрунтуються пояснення до наступних задач з геометрії за 7-9 класи. Наведені алгоритми обчислень багатьом з Вас, а особливо батькам, слугуватимуть добрими інструкціями для обчислення подібних завдань.

Задачі на середню лінію трапеції

Задача 1. Основи трапеції рівні 5 та 11 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування:m=(a+b)/2=(11+5)/2=8 см.
І таких задач в 7-9 класах не злічити. Ваша робота додати основи і розділити на 2, це і буде довжина середньої лінії.

Задача 2. Різниця основ трапеції рівна 6, а сума в три рази більша. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування: 1 Спосіб.
Прийнявши більшу основу трапеції за a, меншу – b складаємо систему рівнянь:
a-b=6;
a+b=3*6=18.
a=b+6;
b+6+b=18;
2b=18-6=12;
b=12/2=6;
a=b+6=12.
За формулою обчислюємо довжину середньої лінії
m=(a+b)/2=(12+6)/2=9.
2 Спосіб.
Формула середньої лінії містить суму основ, а в умові сказано, що сума втри рази більша за різницю основ. Тобто ми зразу можемо визначити, що
a+b=3*6=18
і обчислити середню лінію
m=(a+b)/2=18/2=9.

Задача 3.Знайдіть середню лінію рівнобічної трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 6 см, а периметр 36 см.
Розв'язування: Периметр трапеціі це сума всіх його сторін. Якщо від периметру відняти бічні сторони, а вони в рівнобічної трапеції рівні, то дістанемо суму основ:
a+b=P-c-d=36-6-6=24 см.
Далі обчислюємо середню лінію
m=(a+b)/2=24/2=12 см.

Задача 4. Основи трапеції дорівнюють 8 см і 22 см. Знайдіть довжину відрізка, який сполучає середини діагоналей трапеції.
Розв'язування: Скористаємося формулою, виведеною на початку уроку
MN=(a-b)/2=(22-8)/2=7 см.

Задача 5. Основи трапеції відносяться як 5:7, а їх різниця дорівнює 6 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування: На основі пропорції між основами, позначимо:
a=7x, b=5x.
Складаємо рівняння до умови
7x-5x=6;
2x=6;
x=3.
Знаходимо середню лінію трапеції
m=(a+b)/2=(7x+5x)/2=6x=6*3=18 см.

Задача 6. Основи трапеції відносяться як 3:4, а її середня лінія дорівнює 14 см. Знайдіть основи трапеції.
Розв'язування: Позначимо a=4x, b=3x.
Тоді m=(a+b)/2=14,
4x+3x=14*2=28,
7x=28,
x=28/7=4 см.
Знаходимо основи трапеції
a=4x=4*4=16 см, b=3x=3*4=12 см.

Задача 7. Висота трапеції рівна 7 см. Знайти середню лінію трапеції, якщо її поща 35 см²
Розв'язування:Такого типу задачі на трапецію обчислюють виходячи з формули площі:
S=h*(a+b)/2=h*m.
Віддси
m=S/h=35/7=5 см.

Задача 8. В трапеції вписано коло, а його бічні сторони рівні 10 та 12 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування: Без знання властивостей трапеції у яку вписано коло вам цієї задачі не розв'язати. Див формули на рисунку.

Властивість: якщо в трапецію вписане коло, то сума його основ рівна сумі бокових сторін.
a+b=c+d.
За умовою c=10 см, d=12 см.
m=(c+d)/2=(10+12)/2=11 см.

Задача 9. Перпендикуляр, опущений з вершини тупого кута до більшої основи рівнобедреної трапеції, ділить її на частини, які мають довжини 12 см і 5 см. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.
Розв'язування: Побудуємо рівнобічну трапецію та опустимо з меншої основи перпендикуляри.

В позначеннях рисунку умову задачі перепишемо так:
AE=12, EB=5.
FE=DC.
Оскільки трапеція рівнобічна, то
AF=EB=4.
Звідси, FE=b=AE-AF=12-5=7,
a=AB=AE+EB=12+5=17.
Знайшовши основи, обчислюємо середню лінію трапеції
m=(a+b)/2=(17+7)/2=12.

Задача 11. У рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні. Висота трапеції дорівнює 12. Знайдіть її середню лінію.
Розв'язування: Побудуємо рівнобічну трапецію та опустимо висоту так, щоб вона проходила через точку перетину діагоналей. Задачу розв'яжемо за побудовою, заодно виведемо одну властивість рівнобічних трапецій.

Висота розбиває трапецію на дві прямокутні трапеції, крім цього в обчислення великий вклад дає перпендикулярність діагоналей трапеції.
Висота ділить трикутники AOB, DCO на попарно рівнобедрені прямокутні трикутники:
ΔAOE=ΔBOE, ΔDFO=ΔCOF.
А в рівнобедрених трикутників, а ще прямокутних - катети рівні:
AE=a/2=OE;
DF=b/2=OF.
В наведених записах фігурують фрагменти формули середньої лінії трапеції, додамо обидва вирази:
a/2+b/2=m=OE+OF=FE=h.

Властивість: У рівнобічної (рівнобедреної трапеції) висота рівна середній лінії трапеції.

Тому відповіддю до задачі є: m=h=12.
На цій властивості теж можна обчислити багато задач, зокрема наступного плану.

Задача 12. Знайти середню лінію рівнобічної трапеції, якщо її площа рівна 169 см².
Розв'язування: Виведемо формулу площі рівнобічної трапеції, знаючи властивість, що середня лінія рівна висоті трапеції.
h=m=(a+b)/2.
Перепишемо формулу площі
S=h*(a+b)/2=h*h=m*m.
Таким чином площа рівнобічної трапеції рівна квадрату висоти або квадрату середньої лінії.
Звідси важливе твердження: середня лінія рівнобічної трапеції рівна кореню квадратному з площі:
m=h=√S.
m=√169=13 см.

Задача 13. Діагональ трапеції ділить її середню лінію на 2 відрізки, які відносяться 3:8. Знайти основи трапеції якщо середня лінія дорівнює 22 см.
Розв'язування: Побудуємо трапецію та середню лінію.

За умовою m=FG=22, FM:MG=3:8.
Складемо рівняння на знаходження відрізків, на які ділить діагональ середню лінію.
FM:MG=3:8,
3х+8x=22,
11x=22, x=2.
Звідси FM=3x=6 cм, MG=8x=16 см.
Оскільки знайдені відрізки є середніми лініями трикутників ABC та ACD, то їх сторони у два рази більші середніх ліній:
AD=b=2MG=2*16=32 см,
BC=a=2FM=2*6=12 см.
Відповідь: 12, 32 см.

Задача 14.У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30 градусів. Знайти середню лінію трапеції, якщо більша основа дорівнює 8 см.

Виразимо кути при основі
 ∠A=∠D=∠CAB+∠CAD=30⁰+30⁰=60⁰
 Також ∠BCA=∠CAD=30⁰ як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC з паралельними прямими BC, AD.
Оскільки кути рівні ∠BCA=∠BAC=30⁰, то трикутник ΔABC – рівнобедрений.
Розглянемо трикутник ΔACD, у якого AD=8 см, ∠CAD=30⁰ і ∠D=60⁰.
Знайдемо третій кут ∠CAD:
∠CAD=180⁰-60⁰-30⁰=90⁰.
 ΔCAD – прямокутний з катетами AC і CD.
Катет навпроти кута ∠CAD=30⁰ рівний половині гіпотенузи, звідси обчислимо катет CD:
CD=AD*sin(30⁰)=8*0,5=4 см.
Знаємо усі сторони трапеції  AB=BC=CD=4 см і AD=8 cм.
Знайдемо середню лінію
m=(a+b)/2=(4+8)/2=6 см.

На цьому задачі на трапецію не завершені, адже на площу, основи та діагоналі трапеції є окремі статті, які чекають Вашого розгляду. Зрозуміло, що тут не всі можливі задачі на середню лінію трапецію, що Вас можуть чекати, а лише типові з навчання. Тому більше розв'язуйте самостійно та по можливості виконуйте побудову до умови задачі.