ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова

Завантажити (скачать) відповіді (ГДЗ): Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР №1. Тема: Похідна. Рівняння дотичної

1 ВАРІАНТ

Приклад 1. Знайдіть похідну функції

1)

Розв'язання: Застосовуємо відому формулу для степеневої залежності
Після обчислень отримаємо запис

2)

Розв'язання: Знаходимо похідну від добутку функцій та для компактної відповіді  зводимо до спільного знаменника

3)

Розв'язання: За правилом похідної частки виконуємо обчисення


Формулу похідної частки Ви повинні вміти застосовувати на практиці.

4)

Розв'язання: Перетворимо знаменники дробів на від'ємні показники.

Подальше обчислення похідної не має бути важким для Вас.

Приклад 2. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції
у точці з абсцисою x0=-1.

Розв'язання: Схему знаходження дотичної до графіка функції, думаю, всі знають. Необхідно визначити всі складові рівняння (позначені чорним кольором)
Виконуємо обчислення похідної функції

В заданій точці похідна рівна -6

Знаходимо значення функції в точці

Отримані значення підставляємо в рівняння дотичної

На цьому дотична знайдена.
Для наочності графік функції разом із дотичною наведено нижче

Приклад 3. Знайдіть похідну даної функції та обчисліть її значення в точці x0:

1)

Розв'язання: Спочатку обчислюємо похідну кореневої функції, не забуваючи при цьому, що вона складена

Залишилося підставити абсцису у запис похідної

Перше завдання виконано, переходимо до наступного.

2)

Розв'язання: Похідна від синуса в 5 степені прийме вигляд

Підставимо абсцису у знайдену формулу

Обчилення не надто складні і під силу кожному.

Приклад 4. Тіло рухається прямолінійно за законом S(t) .

(час t вимірюється в секундах, переміщення s — у метрах).
Знайдіть швидкість руху в момент часу

Розв'язання: При прямолінійному русі швидкість є похідною величиною від шляху. На основі цього обчислюємо похідну

В момент часу t0=3 швидкість

рівна 30 метрів за секунду.

Приклад 5. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна прямій у = 9х -1.

Розв'язання: Завдання не настільки складне як виглядає на перший погляд. З умови – дотична паралельна прямій Ви повинні для себе взяти кутовий коефіцієнт дотичної

Таким чином, нам залишається знайти точку на графіку функції f в якій дотична має такий самий кутовий коефіцієнт.


Необхіно знайти значення функції в знайденій точці

та підставити у формулу дотичної
y=9*(x-3)+10;
y=9x-27+10=9x-17;
y=9x-17.
Графік функції разом із дотичною мають такий вигляд

На цьому контрольна робота розв'язана. Для вдосконалення навиків можете вибрати із збірника подібні тематичні задачі і спробувати розв'язати їх самостійно.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР2 , КР3 , КР4 , КР5 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) відповіді: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

КР № 2. Тема: Застосування похідної

1 Варіант

Приклад 1. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1)f(x)=x³-x²-5x-3

Розв'язання: Областю визначення функції є множина дійсних чисел D(f)=R.
Обчислюємо похідну функції

та з умови рівності нулю похідної визначаємо критичні точки

Дискримінант прийме значення

Обчислюємо корені квадратного рівняння

Перевіряємо знак похідної підстановкою

Похідна менша нуля між коренями, отже на цьому проміжку

функція спадає, а за його межами зростає
.
Відповідно в першому корені функція досягає локального максимуму, а в другому – мінімуму.
Ординату точок екстремуму обчислюємо підстановкою абсциси у функцію



Знайшли точку максимуму та точку мінімуму .
Графік функції наведено нижче

2)f(x)=8x²-x⁴

Розв'язання: Областю визначення є вся дійсна множина - D(f)=R.
Обчислюємо похідну функції

та прирівнюємо її до нуля

Отримали кубічне рівняння, яке вдається розділити на множники

Його коренями є наступні значення
х=0; х=2; х=-2.
За знаком похідної

встановлюємо проміжки зростання функції

та проміжки спадання

Обчислюємо ординати точок максимуму

та мінімуму

Записуємо точки максимуму (-2;16) і (2;16) та мінімуму (0;0).
Графік функції має вигляд

Приклад 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

на проміжку [-4; 1].

Розв'язання: Область визначення функції обмежена знаменником

Похідна від частки прийме значення


Нулі похідної знаходимо з квадратного рівняння

Через дискримінант

обчислюємо корені рівняння


Перший корінь не належить розглядуваному проміжку

Другий підходить для обчислень

Обчислюємо значення функції в точці х=-3 і на кінцях проміжку



На основі знайдених значень виписуємо максимум та мінімум на проміжку


Графік функції на вказаному проміжку має вигляд

Приклад 3. Доведіть, що функція
спадає на множині дійсних чисел.

Розв'язання: Функція визначена на всій множині - D(f)=R.
Похідна від поліному наступна

Прирівнюємо її до нуля

і обчислюємо дискримінант
D=1-8=-7<0.
Він менший нуля, а отже похідна або всюди додатна або від'ємна. Перевіримо знак похідної підстановкою

Оскільки похідна від'ємна то функція спадаюча на всій області визначення, що і треба було довести.
Графік функції має вигляд

Приклад 4. Дослідіть функцію f(x)=x³-3x² та побудуйте її графік.

Розв'язання: Функція визначена на множині дійсних чисел D(f)=R.
Перевірка на парність

показує, що функція ні парна ні непарна.
і
Це можна визначити і по вигляду функції, якщо вона містить тільки непарні степені то функція непарна, парні степені – парна.
Знаходимо нулі функції з кубічного рівняння

x=0; x=3- нулі функції.
Поведінку досліджуваної функції визначаємо через похідну




Перевіряємо знак похідної підстановкою, наприклад одиниці

Функція зростає поза коренями і спадає між ними [0;2].
Обчислюємо значення функції в критичних точках


На основі виконаного аналізу проводимо побудову графіку функції.

Для деталізації графіку можете обчислити значення функції в потрібних точках.

Приклад 5. Число 24 подайте у вигляді суми трьох додатних чисел так, що перше число відноситься до другого як 1:2, а сума кубів першого і другого та квадрата третього набуває найменшого значення.

Розв'язання: Позначимо перший доданок х, тоді другий - 2х,
і третій знаходимо через різницю відомих - 24-(х+2х)=24-3х.
Складемо функцію, задачу на мінімум якої потрібно розв'язати

Розпишемо функцію, піднісши дужки до відповідних степенів


Отримали кубічну функцію, критичні точки якої визначаємо через похідну

Прирівнюємо похідну до нуля

і розв'язуємо квадратне рівняння

Знаходимо дискримінант

та корені

Другий корінь суперечить змісту задачі. На основі першого розраховуємо інші два числа
2x=4; 24-3x=24-6=18.
Отже, 2, 4, 18 – шукані числа.
Відповідь: 2, 4, 18.

На цьому обчислення типових прикладів даної теми завершені. Добре перегляньте схеми досліджень та цікаві Вам приклади та використовуйте здобуті знання в навчанні.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР3 , КР4 , КР5 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) відповіді: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

КР №3. Тема: Показникова функція. Показникові рівняння і нерівності

1 Варіант

Приклад 1. Порівняйте числа m і n, якщо:
1)
Розв'язання: При перевірці використовуйте правило: Якщо основа більша одиниці, то при розкритті нерівності знак між показниками зберігається, якщо менша одиниці – знак змінюємо на протилежний. В даному завданні основа більша одиниці тому відповідь наступна m>n

2)

Розв'язання: Одиниця в радіанах це фактично1/3.14 частинка від Pi. Синус приймає значення між нулем і одиницею, а отже основа показникової нерівності менша одиниці. На основі цього знак між степенями міняємо на протилежний

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:
1) ;
Розв'язання: Розпишемо перший доданок у вигляді . Тоді показникові рівняння спроститься до наступного

Розв'язати таке рівняння може кожен школяр

x=3 – розв'язок рівняння.

2)
Розв'язання: Показникові рівняння заміною змінних зводимо до квадратного

Згідно теореми Вієта розв'язки приймуть значення

Повертаємося до заміни і визначаємо невідому

Другий корінь не має фізичного змісту, оскільки

Отже, x=3 – єдиний розв'язок показникового рівняння.

Приклад 3. Знайдіть множину розв'язків нерівності

Розв'язання: Основа при показнику менша одиниці, тому при розкритті нерівності знак змінюємо на протилежний


Нерівність нестрога, тому край входить в розв'язок. За цим постійно треба слідкувати.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння

Розв'язання: Перетворюємо праву частину показникового рівняння

Оскільки маємо одну і ту ж основу

то прирівнюємо показники

Після розкриття дужок та групування доданків отримаємо квадратне рівняння для визначення невідомих показників



Коренями за теоремою Вієта будуть числа

Ці два значення і є розв'язками показникового рівняння.

Приклад 5. Розв'яжіть нерівність:
1)
Розв'язання: Перетворимо праву сторону нерівності так, щоб справа і зліва була однакова основа

Оскільки основа 0,1<1, то знак при розкритті нерівності змінюємо на протилежний



Знаходимо нулі чисельника і знаменника

Перевіряємо знак на інтервалах підстановкою точки, для прикладу x=0

Отже на двох інтервалах

нерівність виконується
Відповідь:

2)
Розв'язання: Вводимо заміну змінних , яка дозволить звести показникові нерівність до квадратичної


Знаходимо дискримінант

та корені рівняння

Перевіркою в нулі

переконуємося, що нерівність виконується між коренями.
Повертаємося до заміни і визначаємо показники


Оскільки нерівність нестрога, то розв'язком показникової нерівності буде проміжок

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння

Розв'язання: Розділимо рівняння на множник

В такий спосіб вдається звести показникові рівняння до простого вигляду

Заміною змінних

перетворюємо рівняння до квадратного

Обчислюємо дискримінант
D=1-4*4*(-18)=1+288=289
та корені

Повертаємося до заміни і визначаємо шуканий показник

Другий корінь немає змісту розглядати, оскільки число в показнику не буває від'ємним

Зажди пам'ятайте про це і відсікайте зайві корені. Єдиним коренем рівняння є x=-2.
Відповідь: x=-2

На цьому ознайомлення з можливими завданнями контроьної роботи з теми "Показникові рівняння та нерівності" добігає кінця. Використовуйте даний матеріал з користю для навчання, вдосконалюйте практичний рівень обчисленням подібних завдань самостійно. Адже як не крути, а досвід приходить з пратикою.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР4 , КР5 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) відповіді: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР №4.Тема: Логарифмічна функція. Логарифмічні рівняння і нерівності. Похідна показникової і логарифмічної функцій

1 Варіант

Приклад 1. Знайдіть область визначення функції
у = lg(4х -1).

Розв'язання: За означенням логарифма функція в дужках має бути додатною. Звідси виписуємо умову на область визначення логарифма
4х -1>0; 4х >1;x>1/4.
Область визначення складається з одного інтервалу

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

1) ;

Розв'язання: Розкриваємо логарифм


Отримали лінійне рівняння відносно невідомої. Розв'язок знайти під силу кожному

2)

Розв'язання: Основи логарифмічного рівняння рівні, тому прирівнюємо функції в дужках.


Дужки спрощуються до квадратного рівняння

За теоремою Вієта маємо наступні корені

Але не спішіть виписувати у відповідь обидва корені. Досі не перевірена область визначення логарифмів. Після перевірки

отримаємо, що лише x=9 задовільняє цю умову (є розв'язком).
Відповідь: 9.

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання: Маємо нерівність в якій з двох сторін задано логарифми. Оскільки основа 0,9 < 1, то при розкритті нерівності слід змінити знак на протилежний

До цієї умови додаємо дві умови на область визначення логарифмів та об'єднуємо їх у систему нерівностей

Перетином усіх інтервалів буде лише один – він і є розв'язком нерівності.
Відповідь: (4;6].

Приклад 4. Обчисліть значення виразу

Розв'язання: Використовуючи ряд властивостей логарифма знаходимо значення виразу

Думаю у викладенні Вам усе зрозуміле і дані властивості Ви знаєте.
Відповідь:1.

Приклад 5. Знайдіть корені рівняння:

1)

Розв'язання: ОДЗ x>3. Основи в логарифмів однакові, тому може згрупувати їх під один

Розкриваємо логарифм і отримуємо квадратне рівняння відносно невідомої


Воно достатньо просте тому корені знаходимо за теоремою Вієта


Область визначення відкидає один корінь і остаточно маємо x=4.
Відповідь: 4.

2)

Розв'язання: За властивістю логарифма маємо дві умови

Також перетворимо один із доданків, використавши властивість логарфма

Логарифмічне рівняння перетвориться до вигляду

З вигляду бачимо, яку заміну слід робити

Помножимо на неї рівняння

та запишемо у вигляді квадратного рівняння

Його корені приймають значення

Повертаємося до заміни і знаходимо розв'язки


Кожен з них задовільняє наведені вище умови.
Відповідь: 25; 1/5.

Приклад 6. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання: Вводимо заміну змінних та розв'язуємо нерівність відносно неї


Нерівність виконується за межами знайдених коренів. Тепер повертаємоя до заміни і розписуємо дві нерівності


Розв'язком є два інтервали і .
Відповідь:

Приклад 7. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою x0=0.

Розв'язання: Знайдемо спочатку складові рівняння дотичної. Для цього обчислимо похідну функції

та підставимо задану точку

Обчислимо значення функції в точці

Підставляємо в формулу дотичної

у=-3(х-0)+1=-3х+1.
Графік функції з дотичної наведено нижче

Відповідь: у=-3х+1.

Приклад 8. Побудуйте графік функції

Розв'язання: Почнемо аналіз від кореня – підкоренева функція повинна бути невід'ємною

Логарифм десятковий від синуса повинен бути більший рівний нулю Це можливо коли синус досягає свого максимального значення – одиниці.

Розв'язком останнього є точки

Графічно це має вигляд

Досить проста контрольна дозволяє в короткий час перевірити знання властивостей логарифма. Добре розберіть відповіді до завдань та спробуйте подібні завдання самостійно. Це дозволить сміливо себе почувати при проходженні тестів, самостійних, ЗНО.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР3 , КР5 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) відповіді: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР №5. Тема. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики

1 Варіант

Приклад 1. Маємо 8 різних конвертів, 4 різні марки і 6 різних листівок. Скількома способами можна вибрати комплект з конверта, марки і листівки?
Розв'язання: Конверт можна вибрати 8 способами, марки – 4, і листівки –6. Сумарна кількість способів рівна їх добутку
8*4*6=192.
Відповідь:192.

Приклад 2. У ящику лежать 9 кульок, дві з яких білі. Яка ймовірність того, що вибрані навмання дві кульки будуть білими?
Розв'язання: Ймовірність витягнути першою білу кульку рівна кількості білих розділеній на загальну кількість, тобто 2/9. Після цього як одну білу кульку витягнули у нас залишається одна біла серед восьми (9-1). Ймовірність витягнути другу білу кульку рівна відношенню 1/8. Оскільки події незалежні то ймовірність навмання витягнути 2 білі кульки рівна добутку ймовірностей

Через формули комбінаторики дана задача може бути розв'язана наступною залежністю

Відповідь:1/36.

Приклад 3. Дано вибірку: 3; 8; 5; 3; 6; 8; 9; 2; 8; 10. Знайдіть її моду, медіану і середнє значення.
Розв'язання: Упорядкуємо вибірку в порядку зростання 2;3; 3; 5; 6;8; 8; 8;9; 10. Мода рівна значенню, яке має найбільшу частотність в вибірці. В заданому прикладі 8 зустрічається тричі, тому мода рівна 8.

Медіана розбиває кількість елементів вибірки пополам. Але в нас є парна кількість елементів, тому обчислюємо середнє арифметичне п'ятого і шостого (середніх)

Середнє значення вибірки обчислюємо за формулою


Всі характеристики вибірки знайдено.

Приклад 4. У коробці лежать 36 карток, пронумерованих числами від 1 до 36. Яка ймовірність того, що на навмання взятій картці буде записано число, яке:
1) кратне 4;
2) не кратне ні числу 2, ні числу 3?

Розв'язання:
1) Випишемо всі числа кратні 4 –4;8;12;16;20;24;28;32;36.
Таких чисел m=9.
Ймовірність рівна відношенню сприятливих подій до загальної їх кількості n=36


2) Виписуємо числа, які не є кратними ні 2 ні 3
1;5;7;11;13;17;19;23;25;29;31;35.
Їх всього 12
m=12.
На основі цього знаходимо ймовірність

Відповідь:1) 1/4; 2) 1/3.

Приклад 5. У коробці лежать кульки, з яких 12 — білих, а решта — червоні. Скільки в коробці червоних кульок, якщо ймовірність того, що вибрана навмання кулька виявиться червоною, становить ?
Розв'язання: Нехай в коробці лежать х червоних кульок, тоді всього в коробці (12+х) штук. Ймовірність витягнути червону кульку рівна

З пропорції обчислюємо кількість червоних кульок
9х=5(12+х);
9х=60+5х;
4х=60; х=15.
Відповідь: 15 кульок.

Приклад 6. Скільки існує чотирицифрових чисел, усі цифри яких непарні?

Розв'язання: Непарними є наступні цифри 1;3;5;7;9 – їх всього 5 штук.
Кількість рівна перестановці з 5 по 4

Відповідь: 120.

Приклад 7. На картках написано натуральні числа від 1 до 10. Навмання вибирають дві з них. Яка ймовірність того, що добуток чисел, написаних на вибраних картках, буде ділитися націло на три?

Розв'язання: Кількість комбінацій з 10 карток по 2 рівна 45

Випишемо всі добутки до 9, які діляться на 3

Таких пар отримали 5. Ймовірність обчислюємо через відношення

Відповідь: 1/9.

Сподіваюсь, що наведені завдання і відповіді до них будуть корисними для Вас при обчисленні ймовірнісних задач.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) відповіді: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР №6. Тема. Інтеграл та його застосування

1 Варіант

Приклад 1.Обчисліть інтеграл

1)
Розв'язання: Застосовуємо табличну формулу неозначеного інтегралу та підставляємо межі

Інтеграл рівний одиниці.

2)
Розв'язання: Перетворимо другий доданок у дужках та виконаємо інтегрування


Обчислення не складні, тому Вам повинно бути все зрозумілим.

Приклад 2. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції та прямими у=0 і х=2.
Розв'язання: Одна межа інтегрування задана і рівна х=2. Другу обчислюємо з умови перетину функцій

На проміжку [0;2] вище буди йти крива , тому від неї віднімаємо пряму та обчислюємо площу інтегруванням

Графік функції із заштрихованою областю наведено нижче

Приклад 3. Знайдіть для функції первісну, графік якої проходить через точку А (1; -2).
Розв'язання: Знайдемо загальний вид первісної

Константу С знаходимо з умови
F(1)=-2; -2=1-1+3+с; с=-5;
Підставляємо сталу у первісну

Графік первісної має вигляд

Приклад 4. Обчисліть інтеграл:
1)

Розв'язання: Підінтегральна функція є складеною і при інтегрування виникають додаткові множники, не забувайте про них


2)

Розв'язання: Перетворимо перший доданок до зручного вигляду та інтегруємо у вказаних межах


В результаті отримаємо -4,5.

Приклад 5. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції та прямою y=2-x.

Розв'язання: Перша крива – це парабола з вітками донизу, друга – пряма. Площа шуканої фігури зображена нижче

Площа рівна інтегралу від різниці функцій (від верхньої потрібно відняти нижню). Але на практиці можуть бути задані будь-які криві і, припустимо, Ви не знаєте як вони розміщені.
В першу чергу потрібно знайти точки їх перетину

Корені квадратного рівняння за теоремою Вієта рівні
Друге завдання – з'ясувати, яка крива знаходиться вище.
На практиці це вирішується у наступний спосіб: можна підставити будь-яку зручну для обчислень точку в обидві функції і порівняти їх значення.
Візьмемо, наприклад x=0

Порівнявши значення бачимо, що парабола проходить вище прямої.
Але і це немає потреби робити, пам'ятайте, що площа за фізичним змістом величина додатна і при інтегруванні, якщо отримали від'ємне число – беріть його за модулем. Від верхньої кривої віднімаємо нижню та інтегруємо

Якщо б від нижньої кривої віднімати верхню та інтегрувати, то інтеграл міняє знак на протилежний.
Площа – завжди додатна, слідкуйте за цим.
Відповідь:

Приклад 6. Використовуючи геометричний зміст інтегралу, обчисліть

Розв'язання: Запишемо підінтегральну функцію та піднесемо обидві частини до квадрату
або

Це рівняння кола радіусом R=2.
Його площа рівна

Нас же цікавить лише верхня його половина, тому знайдене значення ділимо
на 2

Вивчайте формули інтегрування, користуйтеся ними на практиці і подібні задачі не будуть для Вас складними при проходженні ЗНО, тестах, контрольних.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) ГДЗ: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР №7. Тема. Узагальнення і систематизація знань учнів

Приклад 1. Знайдіть похідну функції

та обчисліть її значення в точці x0=-2.
Розв'язання: За правилом розписуємо похідну від частки функцій.


Після цього підставляємо точку

Головне в цьому прикладі і подібних – не помилитися при обчисленні похідної.
Відповідь:

Приклад 2. Обчисліть інтеграл:

1)
Розв'язання: Застосовуємо одну з найпростіших формул інтегрування та підставляємо межі


Відповідь: 3.

2)
Розв'язання: Інтеграл від функції обчислюємо за табличною формулою інтегрування рівний тангенсу

Відповідь:

Приклад 3. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції

у точці з абсцисою x0=9.
Розв'язання: Обчислюємо похідну функції

Знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної підстановкою точки x0=9

Обчислюємо значення функції в точці дотику

Знайдені величини підставляємо в формулу дотичної

Графік функції і дотичної наведено нижче

Відповідь: -4x+9.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння:
1)
Розв'язання: Показникове рівняння записуємо у вигляді

та множимо на 6 для зручності

Далі вводимо заміну змінних

яка перетворює рівняння на квадратне

За теоремою Вієта корені рівні

Останній відкидаємо, оскільки він не дає вкладу

Повертаємося до заміни і знаходимо показник на основі першого кореня

Відповідь: 1.

2)
Розв'язання: Розписуємо показникове рівняння

Наступним кроком виносимо множник та групуємо доданки, що залишилися


Подальші маніпуляції дозволяють швидко знайти розв'язок


Відповідь: 4

3)
Розв'язання: Почнемо аналіз із встановлення ОДЗ логарифма

За властивістю логарифма суму перетворюємо на добуток

Позбуваємося логарифма в правій і лівій частинах


В результаті прийдемо до квадратного рівняння

Корені обчислюємо через дискримінант


- не належить області визначення.
Отже, x=5 – єдиний розв'язок логарифмічного рівняння.
Відповідь: 5.

4)
Розв'язання: Перетворимо основу в другому доданку


Рівняння розв'язуємо введенням нової змінної

При цьому отримаємо квадратне рівняння

Теорема Вієта дає наступні корені

Повертаємося до заміни і визначаємо невідомі x


Отримали два розв'язки.
Відповідь: 1/128, 8.

Приклад 5. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання: Маємо логарифмічну нерівність з основою більшою одиниці (8>1). При розкритті знак нерівності зберігається + виписуємо дві умови на ОДЗ логарифма. Все це об'єднуємо в систему нерівностей

З якої встановлюємо потрібні інтервали


Спільним для усіх умов буде один інтервал

Відповідь:

Приклад 6. Знайдіть на інтервалі первісну функції

графік якої проходить через точку

Розв'язання: Для початку знайдемо первісну функції

Далі з умови проходження через точку А, знаходимо невідому сталу

Підставляємо в формулу первісної

На цьому завдання виконано.

Приклад 7. Дослідіть функцію та побудуйте її графік.

Розв'язання: Почнемо аналіз із ОДЗ -D(f)=R. Перевірка на парність

показує, що функція парна. Визначаємо нулі функції



х=1; х=-1 – нулі функції.
В нуі функція рівна
Знаходимо похідну функції

та прирівнюємо її до нуля


Отримаємо три точки екстремуму
х=0; х=-1; х=1.
Перевіряємо знак похідної

Отже функція спадає на інтервалах

та зростає на наступних

На основі цього виписуємо максимуми функції

та мінімум

Графік функції має вигляд

Приклад 8. На чотирьох картках записано числа 3, 4, 5 і 6. Яка ймовірність того, що добуток чисел, записаних на двох навмання вибраних картках, буде парним числом?
Розв'язання: Парні добутки запишемо в ряд
3*4, 3*6, 4*5, 4*6, 5*6.
Їх всього т=5.
Кількість всього пар рівна

Ймовірність визначаємо через відношення кількості сприятливих пар до загальної їх кількості

Відповідь: 5/6.

Приклад 9. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання: ОДЗ логарифма x>0. Перший доданок розпишемо у вигляді

Надіюсь, що Вам усе зрозуміло в перетвореннях логарифма. Далі підставляємо у нерівність та розкриваємо дужки


Вводимо заміну змінних , та переписуємо нерівність у вигляді квадратичної

Корені рівні



Разом з ОДЗ це дає наступні розв'язки

Приклад 10. При яких значеннях b і с парабола у=х^2+bx+с дотикається до прямої у = 4х +1 у точці А (1; 5)?
Розв'язання: За умовою пряма у = 4х +1 є дотичною до параболи. З цього складаємо рівняння на кутовий коефіцієнт дотичної

В точці А (1; 5) маємо

b=2;
Друга умова на значення функції
y(1)=5;
1+b+c=5;
b+c=4;
c=2.
Остаточне рівняння параболи у=х^2+2x+2.
Відповідь: b=2; c=2.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5 , КР6
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова

Завантажити (скачати) відповіді (ГДЗ): Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР №1. Тема: Похідна. Рівняння дотичної

2 ВАРІАНТ

Приклад 1. Знайдіть похідну функції:

1)
Розв'язання: Обчислюємо похідну функцію за першим правилом диференціювання

2)
Розв'язання: Застосовуємо правило похідної від добутку функцій

3)
Розв'язання: Знаходимо похідну від частки функцій

4)
Розв'язання: Перетворимо показники до зручного вигляду

та застосуємо похідну

Приклад 2. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою x0=-2
Розв'язання: Обчислюємо похідну від функції

та знаходимо її значення в точці

Далі обчислюємо значення функції в заданій точці

Знайдені значення підставляємо в формулу дотичної

В результаті спрощень отримаємо рівняння дотичної


Графік функції разом із дотичною має вигляд

Приклад 3. Знайдіть похідну даної функції та обчисліть її значення в точці x0

1)
Розв'язання: Знаходимо похідну від кореневої функції. При обчисленнях враховуємо, що підкоренева функція складена

Підставляємо задану точку в похідну

2)
Розв'язання: Похідну від косинуса в 4 степені визначаємо за правилом складеної функції

Залишилося підставити Pi/4 в похідну

Корені спрощуються і отримуємо похідну рівну -4.

Приклад 4. Тіло рухається прямолінійно за законом

(час t вимірюється в секундах, переміщення s — у метрах). Знайдіть швидкість руху в момент часу
Розв'язання: Швидкість рівна похідній від шляху

Обчислюємо похідну від закону руху

Залишається знайти швидкість в момент часу 4 секунди

Відповідь:

Приклад 5. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції
,
яка паралельна прямій y=-6x+7.
Розв'язання: Умова паралельна прямій означає, що у прямих кутові коефіцієнти рівні між собоюь.
Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної

Тепер знайдемо похідну від заданої функції

В точці дотику вона рівна K. З цієї умови знаходимо абсцису точки дотику

Ординату обчислюємо підстановкою

Маємо всі складові рівняння дотичної ому підставляємо їх у формулу

Графік функції та дотичної до неї наведено на рисунку
Відповідь:

Наведені вище розв'язки типових задач на тему "Похідна. Рівняння дотичної" стануть в нагоді школярам та студентам на самостійній, контрольній роботі, тестах. Завдання не надто складні і розібравшись в наведених обчисленнях Ви без особливих зусиль зможете розв'язати подібні приклади. Найважливіше в даному матеріалі - знати, як обчислювати похідну функції. Тож вивчайте формули похідних та вчіться їх правильно застосовувати!

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР2 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) ГДЗ: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР № 2. Тема: Застосування похідної

Варіант 2

Приклад 1.Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1)
Розв'язання: ОДЗ функції вся дійсна вісь D(f)=R.
Знаходимо похідну полінома

З мови рівності нулю похідної визначаємо критичні точки. Для заданої функції ця умова рівносильна квадратному рівнянню

Обчислюємо дискримінант

та корені квадратного рівняння

Визначаємо знак похідної підстановкою, наприклад нуля

Отже функція спадає між коренями та зростає на інтервалах і .
Обчислимо значення функції в критичних точках


(1;-1 ) – точка мінімуму,
- точка максимуму.
Графік функції має вигляд

2)
Розв'язання: Областю визначення функції є вся множина дійсних значень D(f)=R.
Знаходимо похідну функції

З умови рівності нулю похідної

встановлюємо критичні точки

Їх всього три. Щоб встановити проміжки зростання і спадання підставляємо в похідну значення, наприклад 2

Отже на крайньому правому інтервалі функція спадна, на сусідніх інтервалах знаки функції чергуються Функція зростає на двох ділянках осі

та спадає за їх межами

На основі цього можемо порахувати максимуми та мінімуми функції



- точки максимуму;
(0;0) – точка мінімуму функції.
Графік функції наведено нижче

Приклад 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

на проміжку [-5; -2].
Розв'язання: ОДЗ функція вся вісь окрім нуля знаменника

Обчислюємо похідну за правилом частки функцій


Прирівнюємо її до нуля

та за теоремою Вієта знаходимо корені квадратного рівняння

Перший із знайдених коренів належить розглядуваному проміжку, другий – ні

З вигляду похідної функції легко переконатися, що в нулі вона від'ємна,

а це означає, що між коренями функція спадає і в точці x=-4 маємо локальний максимум

Обчислюємо значення функції на краях проміжку


Маємо максимум та вибираємо мінімум на проміжку із знайдених тільки що значень


Графік функції наведено нижче

Приклад 3. Доведіть, що функція

зростає на множині дійсних чисел.
Розв'язання: Функція визначена всюди. Її похідну знаходимо у вигляді

Прирівнявши похідну до нуля отримаємо квадратне рівняння для визначення критичних точок

Обчислюємо дискримінант

Він менший нуля, тому функція критичних точок немає. Вона або всюди зростаюча, або спадна. Встановимо це за знаком похідної, для цього підставимо нуль

Похідна на всій області визначення додатна, а це означає, що f(x) - зростає на R.

Приклад 4. Дослідіть функцію та побудуйте її графік.
Розв'язання: ОДЗ – вся дійсна вісь D(f)=R.
Перевірка на парність показує, що функція парна

Визначимо нулі функції


- нулі функції. Знаходимо похідну функції

та прирівнюємо її до нуля з метою визначення критичних точок



Далі за знаком похідною визначаємо проміжки зростання та спадання функції

Отже на інтервалі функція спадає, на сусідніх знаки похідної чергуються. Маємо два інтервали росту функції

та два інтервали спадання функції

Оскільки функція парна то в максимумах матимемо однакові значення

Мінімум обчислюємо досить швидко

Що може бути простішим.
Графік функції наведено на рисунку

Приклад 5. Число 14 подайте у вигляді суми трьох додатних чисел так, що перше число відноситься до другого як 1:3, а сума куба першого та квадратів другого і третього набуває найменшого значення.

Розв'язання: Складемо пропорції з яких і визначатимемо невідомі числа. За умовою перше число х, друге в три рази більше - 3х, а третє рівне (14-3х-x)=14-4x.
Складемо функцію, мінімум якої необхідно знайти

Розкладемо її в степеневий ряд


Обчислимо похідну функції

та прирівняємо її до нуля для відшукання точок екстремуму

Отримане квадратне рівняння розв'язуємо через дискримінант



Перше число рівне х=2, тоді друге 3x=6 і третє 14-4x=6.

Дана контрольна стане Вам гарним доповненням знань, а декому, можливо, інструкцією для розв'язання задач з математики.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР3 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Завантажити (скачать) ГДЗ: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

-------------------------------------------

КР №3. Тема: Показникова функція. Показникові рівняння і нерівності

Варіант 2

Приклад 1. Порівняйте числа а і b, якщо:

1)
Розв'язання: За властивістю показників, при основах більше одиниці знак нерівності зберігається

2)
Розв'язання: Косинус 1 радіана це приблизно косинус 1/3,14*180 градусів, тобто менше 90 градусів. Відповідно косинус приймає значення менше одиниці. За властивістю показників при розкритті показникової нерівності у якої основа менша одиниці знак змінюємо на протилежний.
Отже отримаємо

що a<b.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

1)
Розв'язання: Другий доданок показникового рівняння розпишемо у вигляді

Разом із першим доданком це дозволить спростити рівняння


та знайти його розв'язок

Відповідь: x=6.

2)
Розв'язання: Корені даного рівняння знаходять введенням заміни змінних

При цьому рівняння перетвориться до квадратного

Таке рівняння розв'язувати значно простіше ніж показникові і за теоремою Вієта можемо підібрати корені

Другий зразу відкидаємо, оскільки показникові функція не може приймати від'ємні значення

Перший корінь підставляємо у заміну та знаходимо невідомий показник

Відповідь: 2.

Приклад 3. Знайдіть множину розв'язків нерівності

Розв'язання: Основа в показниковій нерівності менша одиниці

При її розкритті необхідно поміняти знак на протилежний

Далі виконуємо прості перетворення з нерівністю

Розв'язок показникової нерівності записуємо у вигляді інтервалу
Відповідь:

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння

Розв'язання: Для спрощення показникового рівняння зведемо праву частину до основи 5

Підставимо отриманий вираз у рівняння

При рівних основах прирівнюємо показники

та з отриманого рівняння знаходимо розв'язки


Відповідь: x=-2;x=2.

Приклад 5. Розв'яжіть нерівність:

1)
Розв'язання: Зведемо показникові нерівність до однієї основи

Оскільки основа менша одиниці (0,3< 1), то між показниками знак нерівності буде протилежний

Переносимо двійку в ліву частину

та спрощуємо до вигляду

В чисельнику маємо квадратне рівняння, корені якого знаходимо за теоремою Вієта. Знаменник також вносить точку в якій функція міняє знак

Підстановкою, наприклад одиниці, встановлюємо знаки на інтервалах

Отримали два інтервали де показникові нерівність виконується

Відповідь:

2)
Розв'язання: Дане показникове рівняння слід розв'язувати введенням нової змінної . Перетворимо рівняння з урахуванням заміни


Корені квадратного рівняння знаходимо через дискримінант


Другий корінь відкидаємо з фізичних міркувань

Підстановкою нуля переконуємося

що нерівність виконується за межами коренів
Перший підставляємо у заміну і знаходимо показник

В результаті отримали, що розв'язком показникової нерівності є один інтервал

Відповідь:

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння

Розв'язання: Запишемо показникові рівняння після перетворень у вигляді

Далі слід його розділити на або . Кінцева відповідь від того не поміняється

Виконаємо заміну змінних

При цьому рівняння зведеться до квадратного

Обчислюємо дискримінант рівняння
D=9+40=49.
та корені


Другий корінь до уваги не беремо, тому що показникові функція не може бути від'ємною

Підставимо перший корінь у заміну і знайдемо показник

Отже x=1 – єдиний розв'язок показникового рівняння.

Ось такі приблизно приклади Вам доведеться розв'язувати на контрольних, самостійних роботах, тестах. Добре розберіться з методикою обчислень, вона нескладна і досить просто викладена.

Переглянути контрольну роботу

• Варіант 1 - КР1 , КР2 , КР3 , КР4 , КР5 , КР6 , КР7
• Варіант 2 - КР1 , КР2 , КР4 , КР5
• Зміст готові домашні завдання Мерзляк 11 клас. Алгебра