Тригонометричні вирази. 50 завдань з відповідями

Вивчення тригонометричних формул займає чимало часу в шкільній програмі, багато школярів та і студентів мають труднощі з спрощенням тригонометричних виразів, обчисленням тригонометричних рівнянь та нерівностей. Щоб внести свій маленький вклад у Вашу підготовку нами розв'язано понад 50 завдань на кожну з вказаних тем. Спершу були підготовлені приклади із підготовки до Зовнішнього незалежного оцінювання, далі статті будуть доповнені іншими прикладами, розв'язки яких нам будуть надіслані Вами або замовлені через розрахункові та контрольні роботи. Умови завдань охоплюють різноманітні техніки, що в повній мірі дає можливість добре освоїти тригонометрію. Тому вивчайте пояснення та наведені далі алгоритми обчислень.

Завдання 7.1 Спростити вираз

Розв'язування: Обчислення тригонометричного виразу зводимо до формули, яка містить лише синуси.
Для цього використовуємо одну з поширених тригонометричних тотожностей

Тут використали тотожність про те, що сума квадрату синуса та косинуса рівна одиниці:
На її основі можна виразити квадрат синуса та косинуса, після чого спростити рівняння
і
Відповідь: Д.

Завдання 7.2 (ЗНО-2011). На одиничному колі зображено точку P(-0,8;0,6) і кут (дивись рисунок).
Визначити косинус кута.

Розв'язування: На осі Ox (абсцис) одиничного кола (радіусом r=1) відкладають значення косинусів.
На осі Oy (ординат) одиничного кола відкладають значення синусів.
Тому, згідно рисунку 7.2,

маємо косинус та синус
У всіх завданнях де задано кут у відрізках на осях старайтеся намалювати (або уявити) в якій чверті міститься кут.
Часто це є доброю підказкою до кінцевих перетворень.
Відповідь: А.

Завдання 7.3 Спростити вираз
.

Розв'язування: Приклад не надто складний, в ході обчислень застосували відомі залежності

Тут використали формулу:
, а також дослідили функції тангенса та котангенса на парність/непарність:

Відповідь: Б.

Завдання 7.4 (ЗНО-2015). Спростити вираз

Розв'язування: В подібних прикладах потрібно тангенс (чи котангенс) розписати через синус та косинус, а вже тоді зводити до спільного знаменника та спрощувати

Тут використали формулу тангенса:

(а також дивись інші формули з попередніх завдань).
Відповідь: А.

Завдання 7.5 (ЗНО-2014). Відомо, що , .
Якого значення може набувати ?

Розв'язування: Маємо знаки котангенса та косинуса. Потрібно встановити, яке значення приймає синус.
Оскільки , то , тобто синус менший нуля .
Якщо припустити що синус рівний мінус одиниці , то косинус рівний нулю , що суперечить умові завдання, оскільки за умовою косинус додатний .
Тому робимо висновок що єдиним правильним значенням із запропонованих є

Відповідь: Б.

Завдання 7.6 Знайти значення виразу , якщо .

Розв'язування: Щоб позбутися синуса (тому, що за умовою відомий косинус кута) використаємо основну тригонометричну тотожність

тут враховано, що

Відповідь: Б.

Завдання 7.7 Знайти значення виразу
, якщо

Розв'язування: Враховуючи формули зведення

спростимо заданий тригонометричний вираз
.

Тут використали формули перетворення синусів суми та різниці кутів:

Відповідь: В.

Завдання 7.8

Розв'язування: Маємо суму добутків тангенсів. Для спрощення тригонометричного виразу спершу розписуємо тангенси через частки синусів до косинусів, а далі добутки синусів та косинусів записуємо через суми та різниці косинусів

Тут використали наступні формули добутків синусів та косинусів через косинуси суми та різниці кутів:

Відповідь: В.

Завдання 7.9

Розв'язування: Розписуємо косинуси суми та різниці кутів через відповідні добутки, а далі спрощуємо те що отримали

Тут використали формули косинуса суми та різниці кутів:

Відповідь: Б.

Завдання 7.10

Розв'язування: Для спрощення тригонометричного виразу розписуємо тангенси суми та різниці кутів

Тут використали наступні формули:

і

Відповідь: А.

Завдання 7.11 Спростити вираз

Розв'язування: Враховуючи формули зведення

спростимо заданий тригонометричний вираз

Тут використали формулу синуса подвійного кута

Відповідь: Д.

Завдання 7.12 Обчислити значення виразу

Розв'язування: Зведемо тригонометричний вираз з допомогою формули різниці квадратів

Тут застосували формулу косинуса подвійного кута:

Відповідь: Б.

Завдання 7.13 Знайти значення виразу

Розв'язування: Щоб спростити вираз розпишемо синус 40 градусів за формулою синуса подвійного кута

Відповідь: Д.

Завдання 7.14 Обчислити

Розв'язування: Знайдемо суму синусів 48 та 12 градусів. Для цього виконаємо наступні перетворення

Тут використали формулу перетворення суми синусів в добуток

Відповідь: В.

Завдання 7.15 Обчислити різницю косинусів

Розв'язування: Знайдемо різницю косинусів 70 та 10 градусів.
Необхідні перетворення матимуть вигляд

Тут використали формулу різниці косинусів через добуток синусів півсуми та піврізниці кутів:

Відповідь: А.