Задачі на обчислення значення функцій в околі нуля, чи іншої точки дуже важливі в математиці і без спеціальних калькуляторів чи програм знайти їх значення важко. На допомогу студентам, інженерам і т.д. приходять ряди Тейлора. Функцію розкладають в ряд, відбирають кілька перших членів, які вносять найбільший вклад та забезпечують достатню точність обчислень. Після того знаходять значення в заданій точці.
Розглянемо приклади застосувань рядів Тейлора до наближених обчислень.
Приклад 1. Обчислити з точністю до 0,0001.
1) 
Розв'язок. Запишемо задану функцію у зручному для розкладу вигляді
Скористаємося формулою розвинення в ряд Тейлора
та випишемо декілька членів ряду при степенях аргумента
В результаті отримаємо значення
Згідно записаної вище форми, домножуємо отримане число на 2
Для вазаної точності нам достатньо було взяти три члени ряду.
2) (9.331) 
Розв'язок. Скористаємося розкладом синус функції в околі нуля
Заданий вираз перепишемо у наступній формі
та підставимо у формулу
Взявши лише два члени ряду, отримуємо достатньо добру збіжність. Та така збіжність буває не завжди. Чим дальше віддаляємося від точки, в якій розвинуто ряд, тим більше членів розкладу потрібно брати для точності результату.
3) (9.333) ln(1,3)
Розв'язок. Запишемо розклад логарифма біля одиниці
В даному випадку підставимо x=0,3 та просумуємо декілька членів ряду
Точний результат рівний
ln(1,3)=0,262364...
Для забезпечення збіжності з точністю 0,0001 потрібно брати більше членів ряду
Отримали хорошу збіжність, але прийшлося брати п'ять членів розкладу в ряд. Це пов'язано з тим, що точка, в якій шукали наближене значення знаходиться далеко від точки розкладу ряду.
4) (9.333) 
Розв'язок. Наведемо розклад арксинуса в околі нуля
Точне значення буде наступним
arcsn(1/5)=0,2013579...
Взявши два члени ряду
отримаємо хорошу збіжність.
Користуйтеся формулами розкаду елементарних функцій, якщо їх недостатньо, то застосовуйте пяди Тейлора і Ви завжди зможете знайти наближене значення числа чи функції.
