Завдання "знайти відстань від точки до прямої " достатньо просто виконати, якщо знати наступну формулу
відстань від точки до прямої
Вона справедлива, якщо точка і пряма знаходяться на площині, а не в просторі.
Залишилося пояснити Вам, які величини фігурують у формулі.

Нехай пряма l задана загальним рівнянням Ах + Ву + С = 0 і маємо деяку точку М0 (х0; у0)
.

Відстань від точки М0 до прямої l дорівнює модулю проекції вектора М1 М0 (де М1(x1;y1) довільна точка прямої l) на напрям нормального вектора n = (А;В). На мові формул це має вигляд
відстань від точки до прямої
Оскільки точка М1(х1; у1) належить прямій, то вона задовільняє рівнянню
Ах1 + Ву1 + С = 0 –> -Ах1 - Ву1= С.
Підставимо останній вираз у формулу

відстань від точки до прямої

Саме цією формулою всі користуються при знаходженні відстані від точки до прямої на площині.
При виведенні формули точка М1 фігурувала, однак кінцева формула містить параметри рівняння прямої та координати точки. Мінімум даних, досить проста формула – що може бути простіше для обчислень.

Відхилення точки від прямої

Також в теорії та практиці можете зустріти поняття відхилення від прямої. Воно по суті рівне відстані delta =d взятій зі знаком плюс, якщо точки M0 і O(0;0) лежать по одну сторону прямої, і delta = – d – якщо по різні сторони.
відхилення точки від прямої
Знак знаменника має бути протилежним до знаку C. Відстань рівна перпендикуляру і завжди приймає додатне значення. Відхилення ж може приймати, як додатні так і від'ємні значення.

Приклад 1. Знайти відстань між точкою M(5;2), та прямою 3x+4y-5=0.
Розв'язання: Застосовуємо формулу до вхідних даних

дані
та обчислюємо відстань за формулою
відстань від точки до прямої
Як бачите, обчислення не складні.
Графік прямої з усіма позначеннями наведено нижче
графік прямої

Відповідь: d=3, 6.

 

Приклад 2. Трикутник на площині задано вершинами A(1;1), B(6;2), C(4;7). Знайти висоту трикутника, проведену до сторони АВ. Є
Розв'язання: Побудуємо трикутник АВС
Знаходимо рівняння прямої за двома точками


5y-x-4=0.
Знаходимо відстань d від точки C(4;7) до знайденої прямої

Трикутник разом із висотою наведено графічно

трикутник, висота
Відповідь: d=5, 3.

 

Приклад 3. Знайди відстань від точки M(-3;5) до прямої y=3x+7.
Розв'язання: Перетворимо рівняння прямої до загального вигляду
y-3x-7=0.
Усі решта дії зводяться до підстановки значень у формулу відстані та спрощень
відстань від точки до прямої
Відстань знайдено. Графік прямої зображено нижче

пряма, відстань
Відповідь: d=7, 9.

 

Приклад 4. Знайди площу квадрата, дві сторони якого лежать на прямих
3y-4x-8=0
і 6y-8x+24=0.
Розв'язання: Оскільки в умові йде про квадрат, то задані прямі паралельні. Це також легко бачити із пропорційності коефіцієнтів рівняння 3/6=4/8. Сторону квадрата шукаємо, як відстань від будь-якої точки першої прямої до другої. Виберемо, яку не будь точку на першій прямій. Для простоти обчислень візьмемо x=1, тоді рівняння прямої до загального вигляду
3y-4*1-8=0; 3y=4+8=12; y=12/3=4.
Отже, маємо точку M(1;4), що належить першій прямій і рівняння другої прямої
6y-8x+24=0.

За формулою знаходимо відстань
відстань від точки до прямої
Площа квадрата рівна квадрату сторони
.
Відповідь: S=16.

 

Приклад 5. Знайти відхилення точки F(3;-4) від прямої 5x-2y-3=0.
Розв'язання: Виписуємо дані для формули відхилення A=5; B=-2; C=-3 та знаходимо.
відхилення точки від прямої
Отримали від'ємне відхилення, яке рівне delta=-3,71. На графіку пряма має вигляд
відстань від точки до прямої

Спочатку йде точка (0;0), далі пряма, далі шукана точка F. Тому відхилення точки від прямої отримали відємним.

Відстань від точки до прямої в Maple

Давайте реалізуємо обчислення відстані від точки до прямої в математичному пакеті Maple. Також можемо визначити і відхилення точки від прямої. Все, що нам треба це задати координати прямої та коефіцієнти рівняння і, звичайно, саму формулу для розрахунку
> restart;
Вводимо вхідні дані
> A:=1;B:=-3;C:=5;x0:=2;y0:=4;

Записуємо формулу обчислення відстані
> Distance:=abs(A*x0+B*y0+C)/sqrt(A^2+B^2);
Якщо правою клавішею мишки вибрати StandardMath, то отримаємо запис у вигляді формули відстань від точки до прямої> evalf(Distance);> delta:=(A*x0+B*y0+C)/sqrt(A^2+B^2)*signum(C);

Команда signum відповідає за знак виразу.відхилення точки від прямої> evalf(delta);

Змінюєте вхідні дані і маєте готовий калькулятор відстані від точки до прямої.

Думаю після всіх прикладів, на питання – "як знайти відстань від точки до прямої?", Ви зможете відповісти – "досить легко".