Теорія векторів дозволяє знайти кут між прямою, яка задана рівнянням
(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p
і площиною
Ax+By+Cz+D=0.
Пряма може мати наступні розміщення відносно площини:
Пряма паралельна до площини у випадках, коли напрямний вектор s(m, n, p) є перпендикулярний до нормального вектора n(A, B, C) площини. Такою умовою є рівність нулю скалярного добутку векторів
Am+Bn+Cp=0.
Пряма перпендикулярна до площини якщо вектори S і n паралельні, тобто виконується формула
A/m=B/n=C/p
Пряма перетинає під певним кутом площину
Кутом між прямою і площиною називають кут утворений прямою і її проекцією на площині. Він завжди лежить в межах від 0 до Pi/2. Нормаль до площини має кут Pi/2 з площиною, тому напрямний вектор прямої з нормальним вектором площини має кут Pi/2-phi , якщо вони розміщені по один бік площини та P/2+phi, якщо по різні сторони площини.
В кожному з випадків синус приймає додатне значення, косинус може приймати як додатне так і відємне значення. Косинус кута між прямою і площиною рівний скалярному добутку вектора нормалі до площини та напрямного вектора прямої, розділеному на їх норму. Скалярний добуток беруть за модулем. Мовою формул це матиме запис
За цією формулою знаходять синус кута між прямою і площиною. Застосовуючи до неї обернену функцію, обчислюють значення кута
Наведемо декілька прикладів на знаходження кута.
Приклад 1. Знайти кут між площиною 5x-7y+3z-2=0 та прямою, яка задана напрямним вектором до прямої s(1, -2, 3).
Розв'язання: Коефіцієнти в рівнянні площини є напрямними нормального вектора до площини n(5;-7;3). Підставимо у формулу кута до площини
та застосуємо арксинус.
Таким чином кут дещо більший за 47, 24 градуси.
Відповідь: Phi=47, 24.
Приклад 2. Знайти кут між площиною 7x-y+2z+11=0 та прямою, яка задана перетином двох площин
5x-2z+4=0;
3x-2y-5=0.
Розв'язання: Рівняння прямої зведемо до канонічної форми запису. Із першого рівняння виразимо змінну x
Також виразимо змінну з другого рівняння
та складемо канонічне рівняння прямої
Рівняння слід скласти таким чином, щоб біля змінних в чисельнику були присутні однакові множники.
Виписуємо направляючий вектор прямої s(2, 3, 5) та нормальний вектор площини n(7; -1; 2) .
Далі за формулою кута між прямою і площиною виконуємо обчислення
Арксинус приймає значення
Відповідь: Phi=27,66.
Приклад 3. При якому значенні параметрі a пряма l(2a;-19a;-3) і площина 3a*x+y-5z+7=0 будуть паралельними?
Розв'язання: Виписуємо нормальний вектор до площини n(3a; 1; -5) та напрямний вектор прямої l(2a; -19a; -3). Умова паралельності прямої та площини рівносильна рівності нулю скалярного добутку векторів n і l. Знайдемо його
Отримали квадратне рівняння, яке розв'язуємо через дискримінант
Знаходимо корені квадратного рівняння
При параметрах a=5/3; a=3/2 площина і пряма паралельні.
---=====================---
Приклад 4. Знайти кут між площиною та прямою, які задані рівняннями
x-5y+3z+7=0- рівняння площини.
2x+y-3z-5=0; 3x-2y+z+1=0 - рівняння прямої.
Розв'язання: Рівняння прямої необхідно звести до канонічної вигляду. Для цього до першого рівняння помноженого на 2 додамо друге, щоб позбутися змінної y
До першого рівняння додамо друге, помножене на 3, щоб занулити z
Добре перегляньте наведену методику отримання виразу однієї змінної через іншу. З отриманих залежностей складаємо канонічне рівняння прямої в просторі
Записуємо напрямний вектор прямої s(5; 11; 7) та вектор нормалі до площини n(1; -5; 3). Далі підставимо знайдені вектори в формулу кута між прямою і площиною
Як можна побачити з формули, без інженерного калькулятора обчислити синус кута, корені квадратні буде неможливо.
Знаходимо сам кут через арксинус
Кут між прямою і площиною в Maple
Ті хто з Вас має можливість використовувати в навчанні MathCad, MathLab, Maple чи інші математичні програми кут між площиною і прямою знаходять досить швидко. Досить один раз ввести формулу і далі тільки міняти вхідні дані. В пакеті Maple формула кута матиме запис
> restart;
Дана команда звільняє значення всіх змінних. Далі вводимо координати напрямного вектора прямої і вектора нормалі до площини.
> A:=2;B:=-5; C:=7;m:=2;n:=3; p:=-1;
Записуємо формулу, за якою знаходимо синус кута
> S:=sin(abs(A*m+B*n+C*p)/sqrt(A^2+B^2+C^2)/sqrt(m^2+n^2+p^2));
> evalf(S);
Команда evalf округлює значення змінної.
> Phi:=evalf(arcsin(S)/Pi*180);
Кути Maple обчислює в радіанах. Щоб перетворити радіани в градуси, арксинус ділимо на Pi та множимо на 180 градусів.
Досить просто і швидко отримуємо шуканий кут. Отакий простий калькулятор, змінюєте дані - отримуєте новий кут.
