Первый замечательный предел, следствия, примеры

Определение первого замечательного предела: предел отношения синуса к аргументу, когда он стремится к нулю равен единице

Последствия первого замечательного предела

Стоит отметить, что не все пределы, содержащие тригонометрические функции следует сразу сводить к первому замечательному пределу. Все зависит, как входит функция, и можно ли свести под нужную формулу. Плюс тригонометрические функции, когда те стремятся к нулю всегда можно заменить эквивалентными бесконечно малыми выражениями, но это уже другая техника вычисления пределов.
что стремится к нулю. Об этом Вы должны помнить и только в таких случаях сводить вычисления под правило первого замечательного предела. Важно чтобы переменная в тригонометрической функции стремилась к нулю, например:

В следующих пределах все аргументы тригонометрических функций стремятся к нулю.


У Вас возникнет вопрос, Почему так? А потому что выражение x³+3x^2+1 не стремится к нулю, когда переменная x стремится к нулю.
Попробуйте самостоятельно найти предложенный предел, а мы в конце статьи сверим ответы.


что есть правильно, целесообразно и оправдано в плане времени затраченного на расчеты.
Но сейчас у нас задача, научить Вас решать задачи на первый предел, поэтому переходим к подготовленных ответов.

Примеры на первый замечательный предел

Пример 1 Найти лимит

Вычисления: Если видите в пределе синус, то из этого не всегда следует о необходимости сводить к первому замечательному пределу.
Сначала подставим 0 в выражение под знаком лимита (делаем это в голове не записывая в тетрадь, или можете записать какую особенность получили):

Итак, имеем особенность типа 0/0, ее можно указать при разборе, все зависит от Вуза и требований к оформлению ответов. Дробь под знаком предела похож на первый замечательный предел, но это не он.
Для сведения под формулу первого замечательного предела необходимо в искусственный способ в знаменателе получить такое же выражение, которое имеем под синусом.


Обведенное выражение у нас равно первому пределу, все остальные — множитель при ней.
Аналогично получите если заменить синус эквивалентным бесконечно малым значением sin(5x)~5x.
Ответ: 5/2.

Пример 2 Вычислить предел дроби

Вычисления: Числитель и знаменатель умножили на переменную, а далее искусственно ввели множители которые фигурируют как аргументы синусов. Таким образом получили две замечательные пределы и множители, которые в конце упростили.
Ответ: 5/2.

Пример 3 Найти предел

Вычисления: Здесь искусственно возвели выражение в числителе под аргумент синуса и выразили первый замечательный предел, после этого вычисления упростились до умножения трех чисел.
Ответ:21.

Пример 4 Найти предел

Вычисления: Простая подстановка показывает, что имеем неопределенность вида 0/0, которую нужно раскрыть. Распишем в знаменателе tan(3x) по тригонометрической формуле tan(3x)=sin(3x)/cos(3x), а в числителе выделим множитель 3x. Таким образом получим первый важный предел умноженный на предел от x•cos(3x), который равен нулю.
Здесь не пришлось искать дополнительные множители, однако раскрытие неопределенности показало, что можно получить в результате как нуль, так и бесконечность, если бы имели обратное выражение.
Ответ:0.

Пример 5 Вычислить предел

Вычисления: Неопределенность типа 0/0 раскрываем путем выделения первого замечательного предела, только на этот раз выражение, что остается во втором пределе стремится к бесконечности при переменной стремящейся к нулю.
Здесь использовали тригонометрическую формулу
1-cos(2x)=2sin²(x).
Ответ: ∞.

Бывают примеры когда применение эквивалентных бесконечно малых величин является более эффективным в плане простоты вычислений, чем возведение под первый предел.

Пример 6 Найти предел

Вычисления: Легко убедиться, что числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для нахождения предела используем разложение функций cos(x), tan²(x) по степеням при x→π/4.

Подставим полученные значения в предел

Ответ:4.

Пример 7 Найти предел

Вычисления: Здесь сot(х) расписали по формуле ctg(x)=cos(x)/sin(x). Далее упростили слагаемые, которые не вносят вклада в предел. И напоследок в числителе и знаменателе ввели множители, которые позволили в одном примере выделить три замечательных предела. Все остальные константы после умножения дали значение предела.
Ответ: 5/16.

Пример 8 Найти предел функции

Вычисление: Получили несколько иную неопределенность от рассмотренных ранее, которую раскрыли с помощью тригонометрической формулы

В результате получили произведение двух первых важных пределов.
Ответ: 4.

Пример 9 Вычислить лимит

Вычисление Раскрыть неопределенность типа 0/0 удалось благодаря выделению в знаменателе множителя, который фигурирует в качестве аргумента синуса в числителе дроби. Здесь можно было выполнить замену переменных y = x-3 , что вы можете проверить самостоятельно и подобным образом свести решение к первому важному пределу.
Ответ: 1/5.

Пример 10 Вычислить предел функции

Вычисление Подстановка 0 показывает, что у нас неопределенность 0/ 0, которую необходимо раскрыть. Чтобы свести дробь под первую особую границу в числителе и знаменателе выносим аргумент и добиваемся, чтобы дроби, содержащий синусы имели в знаменателе одинаковые аргументы как в синусах.
Ответ: - 1/4.

Пример 11 Вычислить предел

Здесь использовали тригонометрические формулы синуса двойного угла sin(2x)=2sin(x)cos(x) и зависимость 1+cos(2x)=2cos2(x)
Ответ: √2.

Пример 12 Вычислить предел

Решение: Первый замечательный предел здесь применять напрямую нельзя, поскольку аргументы πx, 5πx не стремятся к нулю при x→1. Поэтому необходимо выполнить замену переменных x-1=y, тогда при x→1 переменная y→0, что и необходимо для применения 1 замечательного предела. Далее учли периодичность тригонометрических функций и искусственно ввели нужные множители

Ответ: 1/5.

Пример 13 Вычислить предел

Решение: Вводим замену переменных x-π/6=y, далее расписав функции используем тригонометрическую форму представления разности косинусов через произведение соответствующих синусов. Остальные вычислений заключается в выделении первого важного предела

Ответ: -1/3.

Пример 14 Найти лимит функции

Решение: Поскольку, взятые отдельно пределы числителя 1-cos(2x) и знаменателя 1-cos(3x) стремятся к нулю когда x стремится к нулю, то имеем особенность типа нуль разделить на нуль. Раскроем неопределенность посредством сведения к первому замечательному пределу. Для этого используем следующие тригонометрические формулы, чтоб, перейти от косинусов к синусам
1-cos(2x)=2sin²(x);
1-cos(3x)=2sin²(3x/2).
С учетом формул выше, вычислим предел функции

Ответ: 4/9.

Пример 15 Найти лимит функции

Решение: Подстановка в уме аргумента равного нулю в числитель и знаменатель дает особенность типа нуль разделить на нуль 0/0. Для раскрыияь неопределенности распишем тангенс, а дальше с помощью тригонометрических формул заменим 1-cos(x)=2sin2(x/2). Далее искусственным введением необходимого множителя сведём под правило первого замечательного предела.

Ответ: 1/2.

При вычислениях Вам часто приходится использовать различные тригонометрические формулы, которые позволяют перейти к синусам. Мы для Вас их сгруппировали, можете скопировать, распечатать и использовать в обучении.

И в начале мы говорили что предел подобный первому пределу, но не равен 1, потому что аргумент не стремится к нулю. Если подставить нуль в числитель и знаменатель, то получим limit=sin(1). Если Вы к этому пришли самостоятельно, и можете решать приведённые примеры без помощи, то практикумы и экзамены сдадите на отлично.
На этом решение примеров на первую важную границу не заканчивается, больше готовых ответов Вы можете найти на соседних страницах сайта.