Знайти область визначення. Ірраціональні рівняння

До ірраціональних належать рівняння в яких вираз зі змінною чи сама змінна міститься під знаком кореня або дробового степеня. При розв'язуванні рівнянь в першу чергу встановлюють обмеження на область визначення (ОДЗ). Далі є кілька способів розкриття ірраціональності, основні з них це піднесення до степеня та заміна змінної. При парних степенях коренів часто виникають зайві розв'язки, тому після обчислень методом підстановки слід перевірити чи всі знайдені значення перетворюють початкове рівняння в тотожність.
Далі будуть дані відповіді до понад 50 прикладів із ЗНО підготовки на ірраціональні рівняння, перегляньте їх та вивчіть алгоритми знаходження розв'язків.

Приклад 12.1 Знайти область визначення (область допустимих значень) рівняння

Обчислення: Перші завдання досить прості, і нам всього навсього потрібно з обмежень на кореневі функції встановити нерівності, з яких отримаємо ОДЗ:

Далі можемо побудувати числову вісь і на ній зобразити ОДЗ

Часто учителі та викладачі вимагають будувати графічно області, тому ми їх для простих завдань будемо наводити.
З обмежень на корені встановили, що областю визначення є проміжок x∈[-1;5], що відповідає варіанту Д ЗНО тестів.
Відповідь: [-1;5] – Д.

Приклад 12.2 Вказати рівняння, областю визначення якого є одне число.

Обчислення: Маємо 5 ірраціональних рівнянь, кожне з яких містить суму або різницю двох коренів квадратних зі змінними. Для кожної умови складаємо систему із двох нестрогих нерівностей
А.
Записуємо ОДЗ:

Відкладаємо область визначення на числовій осі
та у вигляді проміжку xє[4;5].

Далі переходимо до наступного пункту
Б.
Система нерівностей для ОДЗ:

Будуємо графік області визначення
Оскільки інтервали не перетинаються, x∈∅, то ОДЗ є порожня множина, тобто рівняння немає розв'язків.

Перевіряємо наступне рівняння.
В.
Виписуємо ОДЗ:

Можемо зразу записати область визначення x∈[0;+ ∞), а можна ще добавити графік ОДЗ на числовій осі

Залишилось перевірити ще 2 рівняння з коренями
Г.
Встановлюємо ОДЗ:

На числовій осі отримаємо лише одну точку
Отже, xє{3}, або x=3.

Розпишемо останнє рівняння
Д.
ОДЗ:
Оскільки розв'язок одночасно не може бути більший рівний нулю і менший рівний мінус одиниці
то областю визначення є порожня множина x∈∅.
Відповідь: – Г.

Приклад 12.3 Вказати рівняння, область визначення якого є порожня множина.

Обчислення: В попередньому завданні мали два рівняння що мали областю визначення порожні множини.
Перевіримо наведені ірраціональні рівняння і з'ясуємо, яке ж з них точно немає розв'язків.
А.
З обмежень на корені виписуємо систему нерівностей для визначення області визначення:

Після спрощень наносимо точки та заштриховуємо ОДЗ на числовій осі
Отже, x∈[0;+ ∞).

Б.
Виписуємо обмеження кореневих функцій:

На числовій осі спільним інтервалом
із двох нерівностей буде наступний x∈(-∞;4].

В.
Система нерівностей для області визначення:

Звідси xє{0}, або x=0.

Г. Для ірраціонального рівняння

виписуємо ОДЗ:

Заштриховуємо області на числовій осі та переконуємося, що їх перетином
є інтервал x∈[6;+ ∞).

Д. Залишилось останнє для перевірки рівняння

Виписуємо систему нерівностей з ОДЗ коренів:

Корені снують при змінних не більших за 4 і не менших за 5, звідси робимо висновок,
що областю визначення є порожня множина x∈∅, що й треба було встановити в умові прикладу.
Відповідь: – Д.

Приклад 12.4 Вказати рівняння, коренем якого є число 2.

Обчислення: В таблиці ЗНО тестів ми вже виділили правильну відповідь до завдання, але щоб її отримати довелося розв'язати 5 ірраціональних рівнянь.
І пам'ятайте, що коли права частина рівна нулю і маємо аналогічні приклади то слід відсіяти ті корені, що не задовільняють ОДЗ, або принаймні перевірити їх методом підстановки.
Ми ж покажемо повний хід аналізу рівнянь.
А.
ОДЗ: x-3≥0, звідси x≥3.
В інтервальній формі ОДЗ має запис x∈[3;+ ∞).
Кожний з множників прирівнюємо до нуля та розв'язуємо рівняння

але x₁=2 не належить ОДЗ, тому x=3.
Можете переконатися, що при підстановці x=2 отримаємо корінь квадратний з від'ємного числа.

Б.
ОДЗ: 3-2x≥0, -2x≥-3, звідси x≤1,5.
Остаточно x∈(- ∞; 1,5].
Розв'язуємо рівняння

але один з коренів x₁=2 не належить ОДЗ, тому x=1,5.

В.
Підкоренева функція повинна приймати невід'ємні значення, тому нерівність для ОДЗ має вигляд:
-x ≥0, звідси x≤0.
У вигляді півінтервалу це рівносильне x∈(- ∞;0].
Знаходимо корені рівняння

Їх кількість рівна двом, але x₁=2 не належить ОДЗ, тому єдиний правильний розв'язок x=0.

Г. Для рівняння
складаємо ОДЗ: x-1≥0, звідси x≥1.
Отже, x∈[1;+∞).
Обчислюємо корені

Бачимо, щообидва корені належать ОДЗ.
Отже, x=2 є коренем рівняння, початкова умова виконана.

Д. Для себе можемо перевірити останнє рівняння

Область визначення встановлюємо з нерівності:
1-x≥0, -x≥-1, звідси x≤1.
ОДЗ x∈(- ∞;1].
Знаходимо корені

Перший знайдений x₁=2 не належить ОДЗ, тому залишається x=1.
Відповідь: – Г.

Попереду ще понад 40 прикладів на ірраціональні рівняння.
Переходьте та аналізуйте готові відповіді із ЗНО тестів.