Розв'язування ірраціональних рівнянь

Продовжуємо розв'язувати ірраціональні рівняння і ділитися схемами розкриття квадратних та кубічних коренів. Завдання взяті із програми підготовки школярів до ЗНО тестів, тому в певній мірі охоплюють всі теми, що Вас вчили у школі. Якщо Ви навчитеся розв'язувати наведені приклади, то всі решта будуть однотипними. Аналізуйте відповіді та запам'ятовуйте кращі методики та схеми отримання розв'язків.

Приклад 12.5 Знайти суму коренів рівнянь

Обчислення: Маємо три найпростіших кубічних рівняння. Щоб їх розв'язати обидві сторони рівняння піднести до кубу.
Виконаємо розрахунки
1.
2.
3.
x₁=8; x₂=-27; x₃=-1 - корені заданих рівнянь.
За умовою, знайдемо їх суму:
x₁+x₂+x₃=8-27-1=20.
Відповідь: -20 – А.

Приклад 12.6 Знайти суму коренів рівнянь

Обчислення:Задані прості ірраціональні рівняння з одним коренем квадратним в лівій частині та числом в правій.
Для їх обчислень необхідно обидві частини від знаку рівності піднести до квадрату. Попередньо встановимо області визначення.
1.
ОДЗ: x-1≥0, звідси x≥1.
Остаточно x∈[1;+∞).
Для розкриття ірраціональності підносимо рівняння до квдрату

x-1=4, x=4+1=5, звідси x₁=5.

2.
ОДЗ: -x≥0, звідси x≤0.
Отже, x∈(-∞;0].

-x=25 , звідси x₂=-25.
Обидва корені заданих рівнянь належать ОДЗ, тому знайдемо їх суму:
x₁+x₂=5-25=-20.
Відповідь: -20 – Б.

Приклад 12.7 Яке з наведених рівнянь має корені?
Обчислення:  Проведемо швидкий аналіз рівнянь. Варіанти А та Д не мають коренів,
оскільки значення кореневих функції повинні бути додатні.
В нас же в правій стороні -1<0 і -2<0 відповідно.
Перевіримо інші пункти.
Б.
Обмеження на ОДЗ:

Область визначення порожня множина x∈∅, тому рівняння не має коренів.

В. Рівняння має корені, якщо кожен з коренів при однаковій змінній рівний нулю

Розв'язуючи кожне з рівнянь системи, маємо 2+5≠0, тому саме рівняння не має коренів.

Г. Рівняння має корені, якщо корені квадратні одночасно рівні нулю

Звідси слідує, що рівняння має єдиний корінь, а саме x=3.
Відповідь: – Г.

Приклад 12.8 Знайти значення виразу , якщо значення x задовольняє умову

Обчислення:  Розв'яжемо ірраціональне рівняння:

Підкореневі функції повинні приймати невід'ємні значення, звідси маємо систему нерівностей для області визначення:

остаточно x∈[4,5;6].
Щоб позбутися радикала підносимо обидві частини до квадрату

2x-9=6-x,
2x+x=6+9,
3x=15, звідси x=5.
Оскільки x=5 належить ОДЗ, то він є розв'язком.
Підставимо знайдений корінь в початкову умову

Відповідь: 1 – Д.

Приклад 12.9 Знайти значення виразу √(x+11), якщо значення x задовольняє умову

Обчислення:  Розв'язок рівняння розпочнемо з аналізу ОДЗ:

тобто x∈[-11;1].
Для розкриття ірраціональності піднесемо обидві частини рівняння до квадрату

x+11=1-2x+x²,
x²-3x-10=0,
звідси x₁=-2 і x₂=5.
Корінь x₂=5 не належить області визначення, тому лише x=-2 є розв'язком рівняння.
Отже,
Відповідь: 3 – В.

Приклад 12.10 Знайти суму коренів рівняння

Обчислення:  Такого змісту ірраціональні рівняння обчислюють методом заміни змінної.
Позначимо через параметр другий доданок:
, тоді
При підстановці отримаємо квадратне рівняння
t²-3t+2=0, звідси t₁=1 і t₂=2.
Повертаємося до заміни змінних та виконуємо обчислення кубічних рівнянь

звідси x₁=1.

звідси x₂=8.
Знайдемо суму розв'язків рівняння:
x₁+x₂=1+8=9.
Відповідь: 9 – А.

Приклад 12.11 Розв'язати рівняння

Обчислення: Другий корінь має парний степінь (6), тому випишемо спершу ОДЗ:
x+1≥0, звідси x≥-1, тобто x∈[-1;+∞).
Перетворимо ірраціональне рівняння до вигляду

Звідси бачимо, яку заміну змінних слід застосувати:
, тоді
Розв'яжемо квадратне рівняння, яке при цьому отримаємо
2t²-t-6=0,
D=(-1)2-4•2•(-6)=1+48=49=(±7)2,
звідси

Другий корінь не задовольняє область визначення.
Повертаємося до заміни змінних та знаходимо розв'язок

x+1=64,
x=64-1=63.
Відповідь: 63 – Д.

Приклад 12.12 Скільки коренів має рівняння ?

Обчислення: На вигляд маємо складне ірраціональне рівняння, але погляньте далі як спроститься пошук коренів внаслідок дослідження області визначення:

звідси x=1.
Таким чином, розв'язком ОДЗ є лише одне число, а саме 1, тому підставимо його у початкове рівняння і перевіримо, чи є це число його коренем:
, 0=8, отже, задане рівняння коренів не має.
Відповідь: Жодного – А.

Приклад 12.13 Скільки цілих коренів має рівняння
?

Обчислення: Маємо ірраціональне рівняння в яке входять корені різних порядків.
Спершу звузимо множину розв'язків через визначення ОДЗ:

звідси отримали значення x=2.
Розв'язком ОДЗ є лише одне число, а саме 2, тому підставимо його у задане рівняння і перевіримо, чи є це число його коренем:
, тобто 2=2,
отже, задане рівняння має один цілий корінь, а саме x=2.
Відповідь: один – Б.

Розкриття ірраціональностей та обчислення коренів рівнянь не є важким завданням, якщо знати властивості кореневих функцій, бачити в яких випадках та і яку робити заміну. А для цього потрібна довга і важка самостійна робота, і чим більше прикладів Ви виконаєте, тим легше буде на практиці.
Попереду ще понад 30 завдань, як краще розкривають тему та допомагають підготуватись до ЗНО тестувань.