Сьогодні розглянемо тестові завдання на дробові нерівності, які передбачають врахування ОДЗ дробів.
Загалом маємо 5 прикладів по 4 пункти в кожному, що становиьть 20 завдань щоб розібратися з такого типу умовами.
відповіді будуть корисними як школярам 9-11 класів шкіл так і всім хто готується до вступу у ВУЗ-и.
Пропонуємо завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж
Тема 11. Дробові раціональні нерівності
Завдання №25-29 передбачають встановлення відповідності між 4 пунктами позначеними цифрами та 5 відповідями. За кожен неправильний пункт прикладу бали на ЗНО знімаються, тому будьте уважні в розрахунках.
Приклад 11.25 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв'язків (А – Д).
Обчислення: 1) В обох частинах дробової нерівності маємо доданки які неможна просто закреслити, слід обмежити розв'язки нулем знаменника. Про це пам'ятайте на тестах та екзаменах.
Тому нерівність правильно замінити рівносильною вигляду
Корені рівні, тому виколюємо двійку з числової осі
Звідси x>2, тобто x∈(2;+∞) - Д;
2) Та ж сама схема справедлива і для цього завдання
Наносимо точки та заштриховуємо потрібну область
Отримали два інтервали x∈(2;3)∪(3;+∞) - Г;
3) Записуємо обмеження на знаменник дробу, а далі сам дріб потрібно викреслити з обох частин
Мінус одиниця йде швидше за двійку, тому остаточно отримаємо x≥2, або інтервальний запис x∈[2;+∞) - А;
4) Виконуємо ті ж самі маніпуляції з дробами
Множиною розв'язків є інтервали x∈(-2;3)∪(3;+∞) - В.
Приклад 11.26 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв'язків (А – Д).
Обчислення: 1) Нерівність (x-3)/(x+2)≤0 замінюємо рівносильною системою
Записуємо нулі x1=-2 і x2=3, та наносимо їх на числову вісь.
Між точками квадратична залежність приймає від'ємні значення, що і потрібно нам x∈(-2;3] - Г;
2) Дробову нерівність (x+2)/(x-3)≤0 замінюємо системою
звідси знаходимо нулі x1=-2 і x2=3, та потрібну область знакосталості x∈[-2;3) - В;
3) Нестрогу нерівність
замінюємо строгою за рахунок обмежень на знаменник дробу
(x+2)(x-3)<0.
Далі виписуємо нулі x1=-2 і x2=3 та виколюємо їх з числової осі.
Між коренями квадратична функція знаходиться нижче нуля x∈(-2;3) - А;
4) Сталою в знаменнику нехтуємо, оскільки вона не впливає на знак дробової функції
(x+2)(x-3)/5≤0,
(x+2)(x-3) ≤0,
Виписуємо корені x1=-2 і x2=3, та множину розв'язків нерівності x∈[-2;3] - Б.
Приклад 11.27 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв'язків (А – Д).
Обчислення: Тут у чотирьох варіантах в знаменнику маємо квадратичні та лінійні залежності, які накладають обмеження на розв'язки.
Ці точки виколюємо на числовій осі.
Решта точок враховуємо, оскільки нерівності нестрогі.
1) (x+3)/(x^2-4)≤0
Записуємо рівносильні нерівності
знаходимо нулі функції x1=-3, x2=-2 і x3=2, та методом "змійки" розставляємо знаки
Два інтервали складають множину розв'язків x∈(-∞;-3]∪(-2;2) - Б;
2) (x+3)/(x^2-4)≥0,
звідси x1=-3, x2=-2 і x3=2.
Розв'язками нерівності є інтервали x∈[-3;-2]∪(2;+ ∞) - Г;
3) (x^2-4)/(x+3)≥0,
Записуємо еквівалентну систему нерівностей
З простих множників виписуємо нулі x1=-3, x2=-2 і x3=2.
Наносимо їх на числову вісь та підставленням точки x=0 з'ясовуємо знаки на проміжках
Множина розв'язків має вигляд x∈(-3;-2]∪[-2;+ ∞) - Д;
4) (x^2-4)/(x+3) ≤0.
Виписуємо обмеження та рівносильну нерівність
Знаходимо нулі x1=-3, x2=-2 і x3=2 та проміжки знакосталості.
Далі виписуємо інтервали, де дробова функція приймає недодатні значення
x∈(-∞;-3)∪[-2;2] - А.
Приклад 11.28 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв'язків (А – Д).
Обчислення: 1) (x+4)/(x+1)>1.
Спершу одиниці з правої сторони переносимо в ліву, щоб прирівняти отримані дроби до нуля.
Далі записуємо рівносильні залежності x+1>0 та обчислюємо їх x>-1, тобто x∈(-1;+∞) - Д;
2) (x+1)/(x+4)>1.
Виконуємо елементарні перетворення
та обмеження на множину розв'язків x+4<0 звідси x<-4, або інтервальний запис x∈(-∞;-4) - А;
3) (x+1)/(x+4)<1.
Зводимо запис до рівносильної нерівності
x+4>0 звідси x>-4, або x∈(-4;+∞) - Г;
4) (x+4)/(x+1)<1,
x+1<0, x<-1, тобто x∈(-∞;-1) - Б.
Тепер Ви знаєте, як обчислити дробові нерівності, тому не забувайте про правила, які тут застосовували та вдосконалюйте знання на практиці.
Приклад 11.29 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв'язків (А – Д).
Обчислення: На перший погляд складні нерівності, оскільки мають обернену функцію, проте це всього навсього обмеження на нуль.
Решта все зводиться до вміння зводити дроби до спільного знаменника та змінювати знак нерівності.
1) 1/x≤-x
Перетворення прості та зрозумілі школярам
Чисельник завжди додатний, тому знаменник повинен бути від'ємним.
Звідси x<0, тобто x∈(-∞;0) - Б;
2) 1/x≥-x.
Ті ж самі маніпуляції, тільки знак нерівності протилежний
Отримали x>0 тобто x∈(0;+∞) - Д;
3) 1/x≤x.
Виконуємо перетворення
Записуємо нулі x1=-1, x2=0 і x3=1 та наносимо їх на числову вісь.
Встановлюємо проміжки знакосталості та записуємо потрібні у відповідь
x∈[-1;0)∪[1;+∞) - В;
4) 1/x≥x.
Спрощуємо дробову нерівність
Знаходимо нулі x1=-1, x2=0 і x3=1.
Визначаємо знаки на інтервалах
та записуємо множину розв'язків x∈(-∞;-1]∪(0;1] - А.
В двох останніх нерівностях інтервали почали зі знаку « - », оскільки при розкритті дужок отримаємо рівняння в якому перед змінною старшого степеня x^3 стоїть коефіцієнт -1< 0.
Підсумовуючи попередні уроки можемо запевнити, що якщо Ви уважно читали пояснення, то прості дробові нерівності, а також нерівності з модулями та параметром Вам під силу обчислити самостійно.
Рекомендуємо переглянути останню статтю, яка містить пояснення до складних дробових нерівностей.
