Розкриття логарифмічних рівнянь

На попередньому уроці з курсу ЗНО підготовки Ви познайомилися з формулою розкриття логарифмів
log_af(x)=c⇔f(x)=a^c.{x>0, x≠1, f(x)>0}
та її частковими випадками:
логарифм основи рівний одиниці
c=1⇔log_aa=1⇔f(x)=a.
логарифм одиниці рівний нулю
c=1⇔log_a1=0⇔f(x)=1.
Ми настільки часто-густо користуємося цими властивостями логарифмів, що після прочитання всіх прикладів Ви точно будете знати, де і для чого потрібні ці формули.

Приклади розкриття логарифмічних рівнянь

Курс ЗНО підготовки складається з 40 прикладів від простих до складних, так що за номером прикладу Ви можете слідкувати, який клас завдань розв'язуємо. По мірі поглиблення Ви будете знайомитися з новими формулами та властивостями логарифмів, без яких рівняння неможливо розв'язати.

Приклад 16.7 Розв'язати рівняння log₂(x+1)-log₂(x-1)=1 і вказати проміжок, якому належить його корінь.

Розв'язування: Виписуємо ОДЗ:

За правилом, різницю логарифмів виразів замінюємо логарифмом частки + логарифм основи рівний одиниці, і в результаті опускаємо логарифми і прирівнюємо вирази:

x=3 – корінь заданого рівняння, який належить проміжку (2,9;3,1).
Відповідь: (2,9;3,1) – В.

Приклад 16.8 Розв'язати рівняння log₂(x+1)+log(x+2)=3-log₂4 і вказати проміжок, якому належить його корінь.

Розв'язування: Складемо систему нерівностей для ОДЗ:

Ви ористовуючи ряд властивостей логарифма, зводимо рівняння до однієї основи, та розкриваємо його.
Далі розкладаємо неповне квдратне р-ня на прості множники

x₁=0
x₂=-3<-1 (не належить ОДЗ).
x=0 – єдиний корінь заданого рівняння з інтервалу (-0,1;0,1).
Відповідь: (-0,1;0,1) – Б.

Приклад 16.10 Указати рівняння, рівносильне рівнянню
log₃x-log₉x+log₈₁x=7.

Розв'язування: ОДЗ: x>0
Винесемо степені з основи логарифмів та згрупуємо

Рівняння log₃x=4 і є рівносильне заданому.
(його розв'язок x=3^4=81).
Відповідь: log₃x=4 – В.

Приклад 16.11 Указати рівняння, рівносильне рівнянню x^lg(x)=10.

Розв'язування: ОДЗ: {x>0, x≠1}.
Прологарифмуємо обидві частини показникового рівняння

Кінцеве р-ня і є шуканим рівносильним рівнянням.
(x₁=10, або x₂=0,1).
Відповідь: lg₂x=1 – Г.

Приклад 16.12 Указати рівняння, яке утворюється з рівняння x^lg(x)=1000x^2 у результаті логарифмування обох його частин.

Розв'язування: ОДЗ: {x>0, x≠1}.
Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10.
При цьому пам'ятайте, що логарифм десятковий 10 рівний 1

В такий спосіб знайшли рівняння, яке рівносильне початковому.
(x₁=1000, або x₂=0,1).
Відповідь: lg₂(x)-2•lg(x)-3=0 – Д.

Приклад 16.13 Указати рівняння, рівносильне рівнянню 2lg_x2-lg₂(-x)=4.

Розв'язування: ОДЗ: -x>0, x<0.
Винесемо з під логарифму степінь =2 та перегрупуємо доданки

Це і є всі маніпуляції, щоб знайти рівняння, яке рівносильне заданому
2lg_x2-lg₂(-x)=4.
За допомогою інших перетворень Ви б його не отримали.
(x=-100).
Відповідь: lg²(-x)-4•lg(-x)+4=0 – Г.

Приклад 16.14 Розв'язати рівняння
log_alog_blog_cx=0.

Розв'язування: ОДЗ: x>0.
Маємо три вложені логарифми, тому за властивостями добиваємося рівних основ і розкриваємо рівняння за рівнянням

Колись такого плану завдання були популярними на олімпіадах.
Відповідь: c^b – А.

Приклад 16.15 Указати кількість коренів рівняння

Розв'язування: ОДЗ: x≠0.
Шляхом введення заміни змінних рівняння зводимо до квадратного, після обчислення якого розв'язуємо 2 прості логарифмічні р-ня.
Детальні пояснення ходу перетворень наведені в таблиці

Усі знайдені значення (-8; -4; 4; 8) належать ОДЗ, рівняння має чотири розв'язки.
Відповідь: Чотири – А.

Приклад 16.24 Установити відповідність між рівняннями (1–4) та добутками їх коренів (А–Д).

Розв'язування: Усі 4 варіанти логарифмічних рівнянь зводимо шляхом заміни змінних до квадратних, після знаходження коренів останніх повертаємося до заміни та обчислюємо прості рівняння з логарифмами. Так як у відповіді потрібно знайти добуток коренів, то умова ОДЗ допускає усі значення.

Розв'язування рівнянь з логарифмами неможливе без знання їх властивостей. Звертайте увагу на підкреслення в формулах, вони даються не просто так, ці дві формули до кінця занять Ви маєте вивчити на пам'ять і повірте, що у Вас це вийде.
А зараз переходьте до нових готових відповідей зі ЗНО підготовки на логарифмічні рівняння.