Показникові рівняння з параметром

Тема розкриття рівнянь з параметром важлива в багатьох точних науках, такі завдання не рідко мають особливі множини розв'язків або не мають жодного. Обчисленню лінійних, квадратних, тригонометричних рівнянь з параметром в інтернеті присвячена велика кількість статей, для показникових чомусь все обмежується відеоуроками. Ми спробували заповнити цю прогалину і підготували 50+ пояснень, як їх розв'язувати та на що слід звертати увагу.

Приклад 1 Знайти інтервал за якого рівняння 3•4^x-2+27=a+a•4^x-2 має розв'язок та сам розв'язок.
Розв'язування: Перенесемо показникові вирази в ліву сторону, а константи в праву. Далі згрупуємо в першій частині множники при 4^x-2
3•4^x-2-a•4^x-2=a-27;
4^x-2•(3-a)=a-27.
Якщо вираз в дужках рівний нулю, тобто a=3, то матимемо
4^x-2•0=3-27=-24 – рівняння не має коренів.
У випадку, коли параметр a≠3, то на вираз в дужках можемо розділити:

З властивостей показникових функцій робимо висновок, що ліва сторона додатна 4^x-2. З цього слідує, що рівняння матиме розв'язок, якщо права сторона додатна:
(a-27)/(3-a)>0, або в інтервальному записі a∈(3;27).

В цьому інтервалі розв'зок показникового рівняння знаходимо шляхом логарифмуванням:

На цьому рівняння розв'язано.

Приклад 2 Розв'язати рівняння a^x+1=2^3-x.
Розв'язування: Випишемо ОДЗ:
x∈R, a>0.
1. Якщо параметр не додатний a≤0, то розглядати рівняння немає змісту. (Права і ліва його сторони мають різні знаки).

2. При a=2 , отримаємо:
2^x+1=2^3-x;
x+1=3-x;
2x=2;
x=1.

3. При оберненому значенні параметра a=1/2, отримаємо рівняння:
2^-(x+1)=2^3-x;
-(x+1)=3-x;
-x-1=3-x.
Бачимо, що  розв'язків рівняннянемає.

4. Останній можливий варіант, коли парметр не рівний двом попереднім значенням
a≠2 та a≠1/2.
Прологарифмуємо рівняння за основою a:
log_aa^x+1=log_a2^3-x;
x+1=(3-x)•log_a2;
x•(1+log_a2)=3•log_a2-1;
x=(3•log_a2-1)/(1+log_a2).
Відповідь: при a≤0 або a=1/2 рівняння розв'язків немає;
при a=2, x=1;
якщо a>0, a≠2 та a≠1/2 маємо
x=(3log_a2-1)/(1+log_a2).

Далі йдуть готові розв'язки тестів із курсу ЗНО підготовки. Таких прикладів розібрано більше 50, ви їх можете переглянути на попередніх до цього уроках.

Приклад 14.22 За якого значення параметра a рівняння
16^x-(a+1)•4^x+a=0 має один корінь?

Розв'язування: Завдання з параметром слід обережно розбирати, щоб не пропустити розв'язків або не отримати зайвих.
Зведемо показникове рівняння до квадратного

Заміна змінних: 4^x=t, де t>0.
Корені знаходимо через дискримінант за формулою

1) Квадратне рівняння (а значить і показникове 4^x=t) має один корінь, якщо дискримінант рівний нулю

D=0, тоді
(a-1)²=0,
a-1=0,
a=1.
Отримаємо наступний корінь:
t=(a+1)/2, тобто t=1,
4^x=1,
4^x=4⁰,
x=0.

2) При від'ємному дискримінанті (D<0) квадратне рівняння, а тому і показникове рівняння 4^x=t не матиме коренів взагалі.

3) При додатному D>0 рівняння матиме два корені, але серед них може бути такий випадок, що один, або два корені будуть не більші нуля, тобто t≤0.
Тому і в цьому випадку рівняння 4^x=t може мати два, один або жодного кореня.
В підсумку маємо умову на параметр D=(a-1)²>0.
Ця нерівність виконається лише при a≠1.
Розкриємо нерівність:
а) √D=|a-1|=a-1 (при a>1):
– два корені;

б) √D=|a-1|=1-a (при a<1):
– два корені.
В підсумку, при параметрі відмінному від одиниці a≠1 задане рівняння має два корені.
Тому лише при a=1 рівняння 16^x-(a+1)·4^x+a=0 має один корінь (а саме x=0).
Відповідь: 1 – Г.

До такого змісту завдань будьте підготовлені, якщо берете участь в олімпіадах для учнів 10, 11 класів або навчаєтесь на 1, 2 курсі навчання у ВУЗах.

Приклад 14.35 Указати найбільше ціле значення параметра a, за якого рівняння 2^2x+(a+1)•2^x+1/4=0 має два різних корені.
Розв'язування: Дослідивши рівняння бачимо, що доцільно виконати заміну:
2^x=t>0.
Обчислюємо дискримінант рівняння

З теорії відомо, що квадратне рівняння має два різних корені, якщо дискримінант додатний D>0.
Це і є умова на визначення параметра a.
Його знаходимо з нерівності a^2+a>0 методом інтервалів

Слід зауважити, що серед цих значень a можуть бути такі, при яких t≤0, що не задовольняє умові рівняння 2^x=t. Тому випишемо розв'язки квадратного рівняння:

Останні дві нерівності показують, що рівняння

матиме два різні корені, якщо a<-2.
Тоді число a=-3 є найбільшим цілим значенням параметра, за якого рівняння має два різних корені.
Відповідь: -3.

Приклад 14.43 Розв'язати рівняння

У відповідь записати найменше ціле значення a, за якого рівняння має два корені.
Розв'язування: Рівняння з параметром розпишемо, щоб звести до квадратного

Виконаємо заміну: 5x=t>0,
та для р-ня в новій змінній знайдемо дискримінант

Квадратне рівняння має два різних корені, якщо дискримінант більший нуля D>0.
Серед значень параметра a можуть бути такі, при яких t≤0, що не задовольняє умові 5^x=t.
Для перевірки випишемо усі розв'язки квадратного рівняння:

Дві нерівності показують, що рівняння матиме два різні корені, якщо параметр додатний a>0.
Тоді число a=1 – найменше ціле значення, за якого рівняння має два корені.
Відповідь: 1.

Якщо маєте цікаві в плані обчислень приклади з параметром, неважно набрані в "ворді" чи написані від руки в зошиті, то, не лінуйтеся, надсилайте нам на пошту. Ми їх красиво оформимо та "підшиємо" до даної статті.