Рівняння вигляду A•a2f(x)+B•af(x)+C=0, шляхом заміни змінних t=af(x) можна звести до обчислення квадратного рівняння
A•t2+B•t+C=0.
Після знаходження коренів  t1, t2 повертаємося до заміни та розв'язуємо показникові рівняння простого типу:
af(x)=t1; af(x)=t2.
Це в теорії, а на практиці корені квадратного рівняння повинні бути додатними, якщо основа додатна a>0 + завжди в обчисленнях слід або виписувати область допустимих значень (ОДЗ) для af(x), або після обчислень перевірити підстановкою чи знайдені розв'язки показникового рівняння перетворюють його в тотожність.

Нагадаємо основні формули перетворення степенів, які Ви повинні знати для самостйного обчислення прикладів 


Далі йдуть пояснення до завдань з курсу підготовки до ЗНО, який загалом налічує понад 50 завдань по цій темі.

Приклад 14.20 Указати проміжок, якому належить корінь рівняння?


Розв'язування: Маємо показникове рівняння, звідне до квадратного. В степені 9 маємо дріб в знаменнику якого змінна, тому додатково записуємо умову ОДЗ: x≠0.
Спрощуємо рівняння:
зведення показникового рівняння до квадратного
Заміна: t=3^(3/x), де t>0, тоді t2+6t-27=0.
За теоремою Вієта:
t1+t2=-6 – сума коренів;
t1•t2=-27 – їх добуток, звідси 
t1=-9<0 (не задовольняє ОДЗ) і t2=3 – розв'язки квадратного рівняння.
Повертаємося до заміни і обчислюємо показникове рівняння

Його корінь x=3 належить проміжку [2;4].
Відповідь: [2;4] – Г.

 

 

Приклад 14.36 Розв'язати рівняння

У відповідь записати суму коренів рівняння.
Розв'язування: З обмеження на знаменники дробів, що містять показникові вирази виписуємо умови на ОДЗ:
2x+2≠0,
2x≠-2.

Оскільки 2x>0 для всіх x, то умова 2x≠-2 на розв'язок рівняння не вливає.
2x-3≠0
2x≠3,
x≠log23.

Зводимо дроби до спільного знаменника та методом елементарних перетворень спрощуємо
степеневе рівняння, ЗНО тести

Бачимо готову форму квадратного рівняння при заміні змінних:
t=2x, де t>0 і t≠3 (згідно з ОДЗ).
Обчислюємо дискримінант та корені рівняння

Далі повертаємося до заміни та розв'язуємо прості рівняння:
2x=2,
2x=21,
x1=1.

2x=1/2,
2x=2-1,
x2=-1.

Наостанок, знаходимо суму 
x1+x2=1+(-1)=0.
Відповідь: 0.

 

Приклад 14.34 Розв'язати рівняння

У відповідь записати суму коренів рівняння.
Розв'язування: Виписуємо ОДЗ для кореневих функцій:
x+5≥0, звідси x≥-5.
Далі перетворюємо до квадратного р-ня

за допомогою заміни змінних:
, де t>0
t^2-10t+9=0.
За теоремою Вієта:
t1+t2=10,
t1•t2=9
.
Звідси,
t1=1, t2=9.
Підставляємо знайдені t в   та за правилами розписуємо до рівнянь з коренями:
показникові рівняння з коренями
Обчислюємо суму
x1+x2=-5+(-1)=-6
Відповідь: -6.

 

Приклад 14.37 Розв'язати рівняння
8•81x+9•64x=17•72x
У відповідь записати суму коренів рівняння.
Розв'язування: Рівняння спростимо до квадратного, попередньо розділивши на 8 та розписавши показники
обчислення показникового рівняння
Заміна змінних: (9/8)^x=t, де t>0.

Через дискримінант обчислюємо корені рівняння 

Повертаємося до заміни та розв'язуємо прості показникові рівняння


x1+x2=1+0=1 – шукана сума коренів.
Відповідь: 1.

 

 

Приклад 14.39 Розв'язати рівняння

Розв'язування: В показнику рівняння маємо змінну зі знаком мінус під коренем, а це є додатковою умовою для ОДЗ: x≤0. Далі спрощуємо рівняння до квадратного
показникове рівняння з коренями
заміна: , причому t>0.
Корені рівняння після заміни змінних визначаємо через дискримінант
дискримінант та корені рівняння

Повертаємося до заміни, прирівнюємо показники та методом піднесення до квадрату позбуваємося коренів квадратних
зно відповіді, показникові рівняння
x=-0,2 -розв'язок рівняння.
Відповідь: -0,2.

Більше прикладів на різні техніки розкриття показникових рівнянь Ви можете переглянути в сусідніх статтях. Якщо маєте знайомих учнів 10, 11 класів, то можете порекомендувати їм сайт для підготовки до ЗНО тестування.