Продовжуємо розбирати відповіді до прикладів на ірраціональні рівняння. Далі наведено 7 прикладів, в яких потрібно знайти корені, області визначення та встановити скільки розв'язків має рівняння.

Приклад 12.23 Знайти всі значення параметра a, за яких рівняння та рівносильні.

А

Б

В

Г

Д

a≤-1

a=-1

a>-1

a≥-1

a<-1

Обчислення: Рівняння є рівносильними, якщо множини їх розв'язків співпадають.
Розв'яжемо кожне з рівнянь, а потім з аналізу множин їх розв'язків встановимо за якого параметра справедливе вказане твердження.
1.
ОДЗ: x-a≥0, звідси x≥a.
Тоді x+1=0 звідси x1=-1 і x-a=0, звідси x2=a.
область визначення
2.
ОДЗ: (x-a)(x+1) ≥0.
ОДЗ
Якщо a≥-1, то отримаємо
звідси x∈(-∞;-1] ∪[a;+∞).
Якщо a≤-1, то отримаємо
звідси x∈(-∞;a] ∪[-1;+∞).
Але, якщо a>-1, то рівняння матиме єдиний розв'язок x=a (тут x=-1 не задовольняє ОДЗ, оскільки -1-a<0),
а рівняння матиме два розв'язки x1=-1, x2=a і тоді задані рівняння не будуть рівносильними.
При a≤-1 обидва рівняння матимуть два розв'язки x1=-1, x2=a (-1-a≥0, тому задовольняє ОДЗ), тобто будуть рівносильними.

Відповідь: a≤-1 – А.

 

Приклад 12.24 Установити відповідність між заданими рівняннями (1–4) та множинами їх коренів (А–Д).
ЗНО тестиОбчислення:Такі завдання розв'язують за однією універсальною схемою:
Спершу встановлюють область визначення, далі обчислення та відкидання зайвих коренів.
1.
Обмеження на корінь квадратний дасть нам ОДЗ:
, звідси -2≠0.
Отже, рівняння коренів не має, тому x∈∅
1 - В.

2.
ОДЗ: x-6≥0, звідси x≥6.
Кожен з множників прирівнюємо до нуля та знаходимо розв'язки.
x+2=0, x1=-2
(не належить ОДЗ x≥6)
, x-6=0, x2=6.
Отже, рівняння має один корінь x=6
2 - Б.

3.
Не забувайте, якщо під коренем маємо дріб то знаменник не повинен перетворюватися в нуль.
Звідси дістаємо систему нерівностей для ОДЗ:
область визначення
Наносимо точки на числову вісь і з'ясовуємо знаки підстановкою будь-якого числа з проміжку.
ОДЗ
звідси x∈(-∞;2] ∪[6;+∞).
Розв'язуємо рівняння
Чисельник може бути рівним нулю x-2=0, звідси x=2.
3 - А.

4.
Виписуємо область визначення:
x+6≥0, звідси x≥-6.
Для розкриття ірраціональност обидві сторони підносимо до квадрата та розписуємо

x+6=4,
x=4-6=-2.

4 - Д.

 

Приклад 12.25 Установити відповідність між заданими рівняннями (1–4) та рівносильними їм рівняннями або системами (А–Д).

ірраціональн приклади
Обчислення: Схема обчислень наступна: деякі обмеження отримаємо з ОДЗ, решта при розкритті коренів коли підносимо до квадрату.
Отримані результати порівнюємо з варіантами А, Б, В,Г, Д ЗНО тестів.
1.
Записуємо область визначення:

Далі підносимо обидві сторони рівняння до квадрату та спрощуємо

x-2=-5-x+x2, x2-2x-3=0
Ірраціональне рівняння рівносильне системі з квадратного рівняння та нерівності

1 - Д.

2. Аналогічні кроки проробляємо для другого та наступних пунктів прикладу

Встановлюємо ОДЗ: x2-2x≥0, x(x-2)≥0,
За необхідності можете множини розв'язків області визначення позначати на числовій осі
ЗНО тести
звідси x∈(-∞;0] ∪[2;+∞).
Піднесенням до квадрату позбуваємося коренів

x2-2x=3, x2-2x-3=0,
звідси x1=-1 і x2=3.
Обидва корені належать ОДЗ, тому рівняння і x2-2x-3=0 рівносильні.
2 - В.

3.
Нерівність для кореневої функції:
x-3≥0, тому x≥3,
x+1=0, x1=-1 (не належить ОДЗ),
x-3=0, x2=3
.
Отже, рівняння має корінь x2=3.
Розглянемо рівняння: x2-6x+9=0, тобто (x-3)2=0, звідси x=3.
Отож, рівняння і x2-6x+9=0 рівносильні.
3 - А.

4.
Під коренем маємо квадратичну функцію, вона повинна бути додатною або рівною нулю.
З цього маємо нерівність для ОДЗ:
x2-6x+9≥0, (x-3)2≥0, звідси x∈(-∞;+∞),
, звідси |x-3|=1.
4 - Г.

 

Приклад 12.26 Установити відповідність між рівняннями (1–4) та областями їх визначення (А–Д).
ЗНО тести
1. Обчислення спрощуються, оскільки нас цікавлять області визначення, а не сам розв'язки ірраціональних рівнянь.

Виписуємо обмеження на кореневі функції:

Звідси ОДЗ x=4, або x∈{4}.
1 - Д.

2.
Система нерівностей для області визначення має вигляд:

отже x≥4, або x∈[4;+∞).
2 - Г.

3.
ОДЗ:

змінна має належати проміжку -4≤x≤4, або x∈[4;4].
3 - В.

4.
Складемо ОДЗ:

отже x∈∅.
4 - А

 

Приклад 12.27 Установити відповідність між рівняннями (1–4) та множинами їх коренів (А–Д).

1. √(-x)=4
2. √x=4
3. √x2=16
4. √x-4=0

А. ∅
Б. {-4;4}
В. {16}
Г.  {-16}
Д.  {-16;16}

Обчислення: Виконуємо обчислення коренів за схемою:
1. √(-x)=4
Визначаємо ОДЗ: -x≥0, звідси x≤0,
Далі розкриваємо ірраціональність та знаходимо розв'язки рівняння
-x=16, отже x=-16, або x∈{-16}.
Не забувайте перевіряти чи корінь входить в ОДЗ.
1 - Г.

2. Аналогічно для всіх решта завдань √x=-4,
ОДЗ: x≥0, -4≤0,
тому рівняння коренів не має, тобто x∈∅.
2 - А.

3.
При розкритті кореня квадратного змінну слід взяти за модулем
|x|=16
, звідси x1=16 і x2=-16, або x∈{-16;16}.
Легко переконатися, що обидва розв'язки перетворюють рівняння в тотожність.
3 - Д.

4. √x -4=0,
ОДЗ: x≥0,
√x =4
,
,
отже x=16, або x∈{-16}.
4 - В.

 

Приклад 12.28 Установити відповідність між рівняннями (1–4) та множинами їх коренів (А–Д).
ЗНО тести
1. Для непарних степенів кореневих функцій можна опустити визначення області визначення та зразу перейти до розкриття ірраціональності
-2x=64, отже x=-32, або x∈{-32}.
1 - В
.

2.
ОДЗ: -4x≥0, звідси x≤0,

-4x=256, отже x=-64, або x∈{-64}.
2 - Б.

3.
ОДЗ: , -4 ≤0, тому рівняння коренів не має, тобто x∈∅.
3 - А.

4.
-2x=-32, отже x=16, або x∈{16}.
4 - Д.
На ЗНО тестах можуть зустрітися і важчі завдання, але схема їх обчислень така ж як для розглянутих прикладів.

 

Приклад 12.29 Установити відповідність між рівняннями (1–4) та кількістю їх коренів (А–Д).
ЗНО тестиОбчислення:
1.
Випишемо ОДЗ: x≥0
Одну зі змінних винесемо за дужки

Далі потрібно виконати заміну змінних: √x=t≥0,
тоді x=t2, а рівняння набуде вигляду
t2(t2-10t+9)=0,
t2(t-1)(t-9)=0
.
звідси t1=0, t2=1 і t3=9.
Повертаючись до заміни x=t2, маємо
x1=0, x2=1 і x3=81 (всі три корені належать ОДЗ),
тому задане рівняння має три корені.
1 - В.

2.
ОДЗ для кореня квадратного: x≥0
Робимо заміну: √x=t≥0, тоді x=t3,
Зводимо до квадратного рівняння
t2+10t+9=0,
(t+1)(t+9)=0
.
звідси t1=-1 і t2=9 (обидва корені не належать ОДЗ),
тому задане рівняння не має коренів.
2 - Д.

3.
ОДЗ: x≥0,
заміна: √x=t≥0, тоді x=t2,
отримаємо
t2-5t+4=0,
(t-1)(t-4)=0

звідси t1=1 і t2=4.
Повертаючись до заміни x=t2, маємо
x1=1 і x2=16 (обидва корені належать ОДЗ),
тому задане рівняння має два корені.
3 - Б.

4.
ОДЗ: x≥0
заміна: √x=t≥0, тоді x=t2,
отримаємо
t2-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0,
звідси t1=-1 (не належить ОДЗ) і t2=4.
Повертаючись до заміни x=t2, маємо x=16,
тому задане рівняння має один корінь.
4 - А.


Приклад 12.30 Установити відповідність між рівняннями (1–4) та їх коренями (А–Д).
ЗНО тестиОбчислення: Розрахунки для кожного ірраціонального рівняння починаємо з визначення області визначення. Далі розв'язуємо рівняння та відкидаємо зайві корені. При цьому в ході обчислень пропустимо цього разу усі коментарі.
1.
ОДЗ: x+1≥0, звідси x≥-1,
x-2=0, x1=2 і x+1=0, x2=-1.
1 - А.

2.
ОДЗ: x-2≥0, звідси x≥2,
x+1=0, x1=-1 (не належить ОДЗ) і x-2=0, x2=2.
2 - В.

3.
ОДЗ: x-2≥0, звідси x≥2,
x-1=0, x1=1 і x-2=0, x2=2.
3 - В.

4.
ОДЗ: x-1≥0, звідси x≥1,
x+2=0, x1=-2 (не належить ОДЗ) і x-1=0, x2=1.
4 - Д.

Як бачите надважких перетворень тут не виконували, розкриття ірраціональності в більшості завдань звелося до піднесення до квадрату або кубу. Також Ви тепер знаєте як правильно складати систему нерівностей для області визначення.
В наступних уроках розглянемо решту 20 прикладів із ЗНО підготовки.