Квадратні рівняння з комплексними коефіцієнтами зустрічаються дуже рідко, однак в деяких ВУЗах за допомогою подібних прикладів викладачі можуть перевірити знання студентів з теорії комплексної змінної. Основна задача в тому, що при розв'язуванні отримуємо дискримінант, який є комплексним числом. Без формули Муавра знайти корінь з нього неможливо. Серед усього іншого, при розв'язуванні таких прикладів студентами викладачі мають можливість перевірити знання правил множення та ділення комплексних чисел. Універсальних правил розв'язування немає, тому наведу декілька прикладів з яких все стане зрозуміло.
Приклади. Знайти розв'язок квадратного рівняння
(1) 
Розв'язок. Знаходимо дискримінант за стандартною формулою
Обчислюємом доданки дискримінанта множенням комплексних чисел
Підставляємо у формулу
В даному випадку маємо додатній дискримінант з якого можемо взяти дійсний корінь
Це дуже спрощує обчислення, оскільки при від'ємному дискримінанті потрібно визначати корені за формулою Муавра.
Знаходимо розв'язок рівняння за формулою
Після підстановки отримаємо корені
або
Для спрощення (ділення комплексних чисел), домножуємо чисельник і знаменник на спряжене число до знаменника
Таким чином наступні значення розв'язків
задовільняють вихідне квадратне рівняння.
(2) 
Розв'язок. Дискримінант до квадратичної залежності матиме вигляд
Перший доданок просто знайти
а з другим трохи треба повозитися
Значення дискримінанту після підстановки буде комплексним
D=20-20+4i=4i.
Для знаходження кореня з дискримінанту застосовуємо формулу Муавра
Запишемо отриманий дискримінант в тригонометричній формі
Звідси виписуємо значення модуля та аргументу D
та підставляємо у формулу коренів
При k=0 матимемо
При наступному значенні k=1 отримаємо
Дані значення відповідають точкам перетину кола з радіусом r=2 та прямої y=x.
Розв'язки квадратного рівняння обчислимо за формулами
Отримали частки комплексних чисел. Домножимо на спряжене до знаменника і спростимо перший корінь
та наступний
Отримали складні на вигляд розв'язки квадратного рівняння з комплексними коефіцієнтами, однак при розв'язуванні такого сорту прикладів цього не уникнути. В домашніх умовах Вам допоможуть хіба що математичні пакети Maple, Math Cad, Math Lab, Mathematica.
Тепер Ви бачите, наскільки великий об'єм матеріалу з теорії комплексних чисел викладач може перевірити за одну контрольну, задавши Вам усього один приклад!
Тут вам і формула Муавра, множення та ділення комплексних чисел, зведення до тригонометричної форми.
