Метод заміни змінної (метод підстановки)

Часто в студентській практиці зустрічаються інтеграли, які не можуть бути зведені в простий спосіб за основними формулами. З введенням нової незалежної змінної, в таких випадках, вдається перетворити підінтегральний вираз f(x)dx. Це дозволяє звести інтеграл до табличного або до такого, спосіб обчислення якого може бути відомий. Заміна змінної інтегрування є основою методу, що називається методом підстановки. Незалежну змінну замінюють за формулою , де –диференційована функція від t. Після цього знаходять і інтеграл перетворюють до вигляду

Якщо одержаний інтеграл з новою змінною інтегрування t буде знайдено, то перетворивши результат в зворотньому напрямку до змінної x, використовуючи залежність , відшукаємо вираз заданого інтегралу.
На перший погляд вище наведені формулювання методу виглядають не такими простими, як хотілося. Але повірте, що за даним методом стоять не такі важкі математичні перетворення. Розглянувши приклади, які наведені нижче і попрактикувавши на інших, у Вас все получиться. Якщо ні – надсилайте важкі приклади нам, а ми зі своєї сторони спробуємо їх розв'язати і опублікувати в наступних статтях. Отже переходимо до прикладів.

Приклад 1. Обчислити невизначені інтеграли методом заміни змінної.
а)

б)

Приклад 2. Обчислити інтеграли

а)

Розв'язок. Перш ніж читати наведені відповіді Ви повинні хоч частово ознайомитис з теорією інтеграів. Лише тоді наведена інформаці буде для Вас корисно та повчально.
Вибираємо за нову змінну t такий вираз, що дозволяє позбутися кореня в знаменнику

Заcтосовуючи це до інтеграла отримаємо:

Залишилося не забути в останній вираз підставити заміну, яку зробили на початку

Варто зазначити, що єдиної методики заміни змінної немає. Кожен вибирає заміну так, як підказує досвід і практика. Для даного прикладу за змінну t можна взяти цілий знаменник. Давайте зробимо це і поглянемо наскільки зміниться складність обчислень.

Робимо заміну змінних в інтегралі та обчислюємо його


Ви можливо зауважили, що після другої заміни змінних інтеграл, порівняно з першою заміною, відрізняється на константу, яка рівна 3. Це не є помилкою, оскільки неозначені інтеграли можуть відрізнятися на константу.
Як бачимо, обидві заміни змінних в даному випадку ефективні.

б)

Розв'язок.Вводимо таку підстановку, щоб добувалися корені в знаменнику

Підставляємо в інтеграл

Поділимо чисельник t⁶ на знаменник t-1, щоб отримати правильний дріб. Після ділення отримаємо розклад

Підставимо в інтеграл та проінтегруємо


Повертаємося назад до змінної x

та замінюємо в інтегралі


Результат отримали досить швидко і заміна змінних в цьому випадку дуже допомогла.

в)

Розв'язок.Для підінтегральної функції вводимо підстановку, яка дозволяє позбутися кореня в знаменнику

Проводимо інтегрування


Ряд перетворень пропущено, Ви їх можете виконати самостійно.
Повертаємося до змінної x

Це і є кінцеве значення неозначеного інтегралу.

г)

Розв'язок.За нову змінну в подібних завданнях необхідно вибирати логарифм

Підставимо в інтеграл та знайдемо його значення

д)

Розв'язок.Позначимо через нову змінну чисельник дробу ln(tan(x))

і підставимо в інтеграл


На перший погляд складний інтеграл методом заміни змінних зведено до простого табличного інтегралу. Саме головне в методі – вдало підібрати заміну змінних. Подальше розв'язування, як правило, не надто громіздке і, при добрих знаннях попереднього матеріалу , швидко приводить до кінцевого результату.
Даний урок думаю приніс Вам певну ясність в реалізації методу підстановки. Збагачуйте практичні знання і до зустрічі в наступних уроках.