Часто в студенческой практике встречаются интегралы, которые не могут быть сведены в простой способ по основным формулам. C введением новой независимой переменной, в таких случаях, удается превратить подынтегральная выражение 
. . Это позволяет свести интеграл к табличному или к такому, способ вычисления которого может быть известен. Замена переменной интегрирования является основой метода, который называется методом подстановки. Независимую переменную заменяют по формуле 
, где 
- дифференцированная функция от 
.
После этого находят
и интеграл 
превращают к виду
Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования 
будет найдено, то превратив результат обратно к переменной
, используя зависимость 
, найдем выражение заданного интеграла.
На первый взгляд вышеприведенные формулировки метода выглядят не такими простыми, как хотелось. Но поверьте, что за этим методом стоят не такие уж и тяжелые математические преобразования. Рассмотрев примеры, приведенные ниже и применяя методику на других интегралах, у Вас все получится. Если нет - присылайте тяжелые примеры нам, а мы со своей стороны постараемся их решить и опубликовать в следующих статьях. Итак переходим к вичислениям.
Примеры.
Вычислить интегралы
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Решение.
а) Вводим переменную 
такую, чтобы избавиться корня в знаменателе
Применяя изложенное к интегралу будем иметь:
Осталось не забыть в последнее выражение подставить замену, которую сделали в начале 
Стоит отметить, что единой методики замены переменной нет. Каждый выбирает замену так, как подсказывает опыт и практика. Для данного примера 
можно взять за переменную целый знаменатель. Давайте сделаем это и посмотрим насколько изменится сложность вычислений.
Делаем замену переменных в интеграле и вычисляем его
Вы возможно заметили, что после второй замены переменных интеграл по сравнению с первой заменой, отличается на константу, которая равна 
. Это не является ошибкой, поскольку неопределенные интегралы могут отличаться на константу.
Как видим, обе замены переменных в данном случае эффективны.
б) Вводим такую подстановку, чтобы добывались корни в знаменателе 
Подставляем в интеграл
Разделим числитель 
на знаменатель 
чтобы получить правильный дробь. После деления получим
Подставим в интеграл и проинтегрируем
Возвращаемся обратно к переменной 
и заменяем в интеграле
Результат получили довольно быстро и замена переменных в этом случае очень помогла.
в) Для интеграла
вводим такую подстановку, которая позволяет избавиться корня в знаменателе
Проводим интегрирование
Возвращаемся к переменной 
г)Замена переменных к заданию будет такой
Подставим в интеграл
д) Обозначим
и подставим в интеграл
На первый взгляд сложный интеграл методом замены переменных сведено к простому табличного интеграла. Самое главное в методе - удачно подобрать замену переменных. Дальнейшее решение, как правило, не слишком громоздкое и при хороших знаниях предыдущего материала быстро приводит к конечному результату.
Данный урок думаю принес Вам некоторую ясность в реализации метода подстановки. Обогащайте практические знания и до встречи в следующих уроках.
