Обчислення інтегралу першого роду вздовж криволінійних дуг не важко виконати, якщо правильно знайдений диференціал дуги.
Формули для обчислення диференціалу дуги кривої, коли вона задана параметрично, в декартових чи полярних координатах, явно чи неявно розглядалися раніше. Далі розберемо відповіді до прикладів на знаходження криволінійних інтегралів першого роду.
Добре перегляньте інтеграли та розберіть, які методики інтегрування використані в обчисленнях.

Приклад 1 Обчислити криволінійний інтеграл першого роду: int(y-x,s∈C)
, де C - коло x2+y2=4y.
Розв'язання: Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді:

Алгоритм зведення до канонічного вигляду рівнянь 2 порядку Ви повинні знати добре щоб швидко виконувати подібні перетворення, бо такі розрахунки достатньо прості.
З останнього рядка формули бачимо, що маємо коло з центром у точці (0;2) і радіусом R=2.
Для наочності далі маємо рисунок з колом
 
Перейдемо до полярної системи координат за допомогою формул переходу:
                                              (1)
де 0≤φ≤2π.
Заміна змінних тут потрібна для пришвидшення розрахунку диференціалу дуги та інтегралу.
Знайдемо похідні за кутом φ функцій x=x(φ ) і y=y(φ):

Обчислимо диференціал дуги ds кола за формулою:
диференціал дуги кола

Обчислимо криволінійний інтеграл першого роду вздовж дуги кола:
для цього в підінтегральній функції замінюємо "ігрик" та "ікс" на ті, що в формулах переходу (1), підставляємо знайдений інтеграл дуги та інтегруємо
криволінійний інтеграл першого роду по колу

Під інтегралом маємо елементарні функції, які легко інтегрувати.
У випадку обчислень в декартових координатах розрахунки були б складнішими.

 

Приклад 2 Обчислити криволінійний інтеграл першого роду: int(y2,s∈C)
, де С - арка циклоїди x=a(t-sin(t)), y=a(1-cos(t)) (0≤t≤2π).

Розв'язання: Циклоїда - це лінія яка описує рух будь-якої точки з кола при його коченні. Оскільки при t=0 значення x,y рівні нулю, то в початковий момент часу маємо нижню точку кола. Графік заданої астроїди має вигляд
циклоїда
Обчислимо похідні по змінній t від заданих функцій x=x(t) та y=y(t):

Знайдемо диференціал дуги ds циклоїди за формулою:
диференціал дуги  циклоїди

Обчислимо криволінійний інтеграл першого роду по дузі циклоїди:
потрібні переходи виділені в формулі кольорами
криволінійний інтеграл першого роду по дузі циклоїди

Під інтегралом виконали заміну змінних та перейшли до інтегрування частинами. При заміні змінних не забувайте перераховувати межі інтегрування, доволі часто така помилка зустрічається у студентів.

 

Приклад 3 Обчислити криволінійний інтеграл першого роду: int(xy,s∈C)
, де С - дуга гіперболи x=a•ch(t), y=a•sh(t) (0≤t≤0).
Розв'язання: Наведемо графік гіперболи в декартових координатах
гіпербола
Знайдемо похідні по змінній t від заданих функцій x=x(t) і y=y(t):
x'=a•sh(t), y'=a•ch(t)
Плюсом гіперболічних функцій при диференціюванні є те, що похідна від гіперболічного косинуса рівна гіперболічному синусу і навпаки.
Диференціал дуги ds гіперболи обчислимо за формулою:
диференціал дуги гіперболи

Обчислимо криволінійний інтеграл першого роду по дузі гіперболи:
"ікс, ігрик" під інтегралом міняємо на ті, що є в рівнянні гіперболи, далі підставляємо диференціал по дузі та інтегруємо
криволінійний інтеграл першого роду по дузі гіперболи

Тут, як і в попередньому прикладі, заміна змінних та інтегрування частинами допомагають знайти криволінійний інтеграл.

 

Приклад 4 Знайти криволінійний інтеграл першого роду: int(1/y2,s∈C)

, де C - ланцюгова лінія y=a•ch(x/a).

Розв'язання: Наведемо графік кривої вздовж якої будемо інтегрувати
ланцюгова лінія
Знайдемо похідну по змінній x від заданої функції y=y(x):
y'=sh(x/a)
Оскільки в умові завдання обмежень по x немає, то приймаємо що змінна пробігає значення від мінус безмежності до плюс безмежності .
Диференціал дуги ds ланцюгової лінії знайдемо з формули:
диференціал дуги ланцюгової лінії
Обчислимо криволінійний інтеграл першого роду вздовж ланцюгової лінії:
замінюємо "ігрик" в інтегралі на рівняння ланцюгової лінії, підставляємо диференціал дуги та інтегруємо
інтеграл першого роду вздовж ланцюгової лінії

І знову прийшлось інтегрувати частинами.
Якщо у прикладах, що Вам задали, функції під інтегралом відрізняються від тих що тут розглянуті, то просто їх перераховуєте підстановкою відповідних дуг, а все решта (диференціали дуг, алгоритми обчислення інтегралів) виконуєте у відповідності з наведеними поясненнями. 
Детально перегляньте наведені відповіді та розберіть методи, які застосовували при інтегруванні.
Попереду Вас чекають ще сотні готових прикладів з інтегрування.