В попередній статті ми розглянули правила інтегрування раціональних дробів. Дехто вже мабуть злякався обчислень, але навчання у нас безкоштовне, тому всі радо гортають сторінками сайту в надії знайти готову відповідь. Можливо Вам пощастить і Ви її знайдете, але все таки краще оволодіти методикою інтегрування раціональних дробів і не мати труднощів на екзаменах.
Нижче будуть наведені завдання на дроби І- ІІІ типів, які наочно покажуть як використовувати правила інтегрування для дробових функцій.

Приклад 1. Обчислити інтеграли

а) інтеграл

Розв'язок. Оскільки степінь чисельника менший за степінь знаменника, то підінтегральна функція – правильний дріб. Знаменник x3+x2-6x можна розкласти на множники
x(x-2)(x+3)
Таким чином дріб розкладається на суму доданків першого типу (І)

Невідомі коефіцієнти A, B, C знаходимо методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину отриманої тільки що нерівності зводимо до спільного знаменника
метод невизначених коефіцієнтів

Прирівнюємо чисельники для знаходження невідомих коефіцієнтів

Ця рівність виконується коли коефіцієнти при однакових степенях x рівні між собою. З цієї умови отримуємо систему лінійних рівнянь для визначення невідомих A, B, C

Розв'язуючи її знаходимо невідомі коефіцієнти

Тоді підінтегральна функція набуде вигляду

Інтегруючи дроби за знаком рівності отримаємо значення неозначеного інтегралу
інтегрування раціональних дробів
інтегрування функції
Нічого складного в розв'язування такого сорту прикладів немає, лише правильно скласти і розв'язати систему лінійних рівнянь для визначення невідомих.

 

б) інтеграл

Розв'язок.Підінтегральна функція є правильним дробом, знаменник якого має дійсні корені. Такий дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типів методом невизначених коефіцієнтів
метод невизначених коефіцієнтів
Визначимо невідомі онстанти A, B, C, D, E, для цього праву частину зводимо до спільного знаменника.

Розкриваємо дужки і прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в чисельниках. Отримаємо наступну систему лінійних рівнянь


Можемо розв'язувати систему рівнянь методом Гауса, але це важкий шлях.
Є інший спосіб отримання системи рівнянь для визначення невідомих. Чисельники справа і зліва повинні бути рівні для всіх а. Ця особливість дещо спрощує розв'язування системи рівнянь. Як правило, за точки x в першу чергу беруть корені рівняння та 0. В нашому випаду це були б значення x=-1; x=2. Нуль вибирають за рахунок простоти обчислень.
Розв'язавши отриману вище систему лінійних рівнянь, отримаємо наступні значення невідомих:

Інтегруємо підінтегральну функцію, врахувавши знайдені константи
інтегрування раціональних дробів

 

в) інтеграл

Розв'язок. Знаменник містить квадратний тричлен і множник. Даний дріб за правилами розкладається на суму дробів І-го та ІІІ-го типів:
метод невизначених коефіцієнтів
Звівши до спільного знаменника, отримаємо:

Можемо прирівняти коефіцієнти при однакових степенях, але поступимо інакше, щоб навчитися використовувати іншу методику. Для цього підставимо корінь x=1 в ліву і праву частину рівності, отримаємо

Щоб позбутися невідомої B підставимо x=0

Для знаходження невідомої C випишемо невідомі при x

В такий спосіб, не виписуючи систем лінійних рівнянь і не розв'язуючи їх, можна досить швидко знайти невідомі константи.
Підставивши знайдені значення, розпишемо вихідний інтеграл через суму

Перший доданок інтегрується за табличною формулою і дає модуль логарифма
інтегрування функції
до другого застосовуємо заміну

та зводимо до суми двох

інтегрування раціональних дробів

Просумувавши отримані інтеграли, остаточно отримаємо розв'язок
інтегрування функції
Розв'язавши декілька прикладів на кожен з типів Вам стане зрозуміліше, до якого типу зводити інтеграли і який приблизно буде результат. Тож практикуйте самостійно, вдосконалюйте навики і отримуйте лише вірні розв'язки.