В попередній статті ми розглянули правила інтегрування раціональних дробів. Дехто вже мабуть злякався обчислень, але навчання у нас безкоштовне, тому всі радо гортають сторінками сайту в надії знайти готову відповідь. Можливо Вам пощастить і Ви її знайдете, але все таки краще оволодіти методикою інтегрування раціональних дробів і не мати труднощів на екзаменах.
Нижче будуть наведені завдання на дроби І- ІІІ типів, які наочно покажуть як використовувати правила інтегрування для дробових функцій.
Приклад 1. Обчислити інтеграли
а) 
Розв'язок. Оскільки степінь чисельника менший за степінь знаменника, то підінтегральна функція – правильний дріб. Знаменник x3+x2-6x можна розкласти на множники
x(x-2)(x+3)
Таким чином дріб розкладається на суму доданків першого типу (І)
Невідомі коефіцієнти A, B, C знаходимо методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину отриманої тільки що нерівності зводимо до спільного знаменника
Прирівнюємо чисельники для знаходження невідомих коефіцієнтів
Ця рівність виконується коли коефіцієнти при однакових степенях x рівні між собою. З цієї умови отримуємо систему лінійних рівнянь для визначення невідомих A, B, C
Розв'язуючи її знаходимо невідомі коефіцієнти
Тоді підінтегральна функція набуде вигляду
Інтегруючи дроби за знаком рівності отримаємо значення неозначеного інтегралу
Нічого складного в розв'язування такого сорту прикладів немає, лише правильно скласти і розв'язати систему лінійних рівнянь для визначення невідомих.
б) 
Розв'язок.Підінтегральна функція є правильним дробом, знаменник якого має дійсні корені. Такий дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типів методом невизначених коефіцієнтів
Визначимо невідомі онстанти A, B, C, D, E, для цього праву частину зводимо до спільного знаменника.
Розкриваємо дужки і прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в чисельниках. Отримаємо наступну систему лінійних рівнянь
Можемо розв'язувати систему рівнянь методом Гауса, але це важкий шлях.
Є інший спосіб отримання системи рівнянь для визначення невідомих. Чисельники справа і зліва повинні бути рівні для всіх а. Ця особливість дещо спрощує розв'язування системи рівнянь. Як правило, за точки x в першу чергу беруть корені рівняння та 0. В нашому випаду це були б значення x=-1; x=2. Нуль вибирають за рахунок простоти обчислень.
Розв'язавши отриману вище систему лінійних рівнянь, отримаємо наступні значення невідомих:
Інтегруємо підінтегральну функцію, врахувавши знайдені константи
в) 
Розв'язок. Знаменник містить квадратний тричлен і множник. Даний дріб за правилами розкладається на суму дробів І-го та ІІІ-го типів:
Звівши до спільного знаменника, отримаємо:
Можемо прирівняти коефіцієнти при однакових степенях, але поступимо інакше, щоб навчитися використовувати іншу методику. Для цього підставимо корінь x=1 в ліву і праву частину рівності, отримаємо
Щоб позбутися невідомої B підставимо x=0
Для знаходження невідомої C випишемо невідомі при x
В такий спосіб, не виписуючи систем лінійних рівнянь і не розв'язуючи їх, можна досить швидко знайти невідомі константи.
Підставивши знайдені значення, розпишемо вихідний інтеграл через суму
Перший доданок інтегрується за табличною формулою і дає модуль логарифма
до другого застосовуємо заміну
та зводимо до суми двох
Просумувавши отримані інтеграли, остаточно отримаємо розв'язок
Розв'язавши декілька прикладів на кожен з типів Вам стане зрозуміліше, до якого типу зводити інтеграли і який приблизно буде результат. Тож практикуйте самостійно, вдосконалюйте навики і отримуйте лише вірні розв'язки.
