Дана стаття вчить розв'язувати інтеграли виду
Також проаналізуємо готові відповіді до прикладів, що в знаменнику дробу містять квадратний тричлен під коренем.
Для знаходження перших інтегралів потрібно перетворити їх до відомих формул інтегрування, що в свою чергу потебує виділенння повного квадрату із квадратного рівняння.
де 
Подальше інтегрування зводиться до відшукання табличних інтегралів. Розглянемо конкретні приклади, для закріплення даного матеріалу.
Приклад 1. Обчислити інтеграли
а) 
Розв'язок. Виділимо повний квадрат з рівняння
Наш інтеграл набуде вигляду
Для зведення до табличного вигляду виконаємо заміну змінних
і проінтегруємо
Неозначений інтегра рівний атангенсу частки коренів з доданків знаменника.
б) 
Розв'язок. Даний тип інтегралу складніший від попереднього тим, що в чисельнику маємо функцію від x Такі інтеграли знаходять наступним чином. Спочатку робимо заміну змінних
Для одержання в чисельнику виразу порядку (2x+4)dx помножимо і поділимо наш чисельник на 2. Отримаємо
Якщо б в чисельнику замість x+5 мали x+2, то інтегрування можна звести до відшукання одного інтегралу. Проте такий варіант вибраний спеціально, щоб навчити Вас більше. З такою заміною розбиваємо інтеграл на два доданки
Заміну ми робили для того, щоб легко було звести перший доданок до табличного логарифма
У нашому випадку один інтеграл рівний логарифму квадратичної функції
Другий доданок зводиться за схемою, наведеною в попередньому прикладі. Для цього в знаменнику виділяємо повний квадрат
Тоді інтеграл зводимо під арктангенс
Остаточно, шуканий інтеграл рівний сумі двох знайдених
Схема зведення добре працює, коли в знаменнику легко виділяється повний квадрат, в інших випадках доводиться мати справу з коренями.
Також зустрічаються приклади коли в чисельнику зустрічаються функції f(x) вищих порядків – квадратні рівняння, кубічні і старші. В таких випадках, їх ділимо на знаменник і зводимо до розглядуваного вигляду.
в)
Розв'язок. Робимо заміну змінних
Щоб одержати в чисельнику вираз, який містить(2x-2)dx домножимо і поділимо наш чисельник на 2:
Заданий інтеграл запишемо у вигляді суми двох доданків
Перший доданок дасть логарифм квадратичної функції
Для знаходження другого виділяємо в знаменнику повний квадрат
Застосовуючи табличну формулу до другого доданку, отримаємо логарифм частки функцій
Сумуючи доданки, матимемо значення неозначеного інтегралу
Розглянуті три приклади описують найпоширеніші завдання даної теми.
Приклад 2. Обчислити невизначені інтеграли від виразів, що містять квадратний трьохчлен в знаменнику.
а) Перетворюємо чисельник дробу таким чином, щоб можна було використати формулу інтегрування частинами. Другий інтеграл, що містить корінь з квадратного рівняння розпишемо, виділивши повний квадрат, та зведемо під формулу арксинуса
б) При інтегруванні використовуємо методику статті для виділення повного квадрату та зведенні до табличного логарифма, решту інтегруємо частинами: 
Якщо Вам зустрінуться складніші інтеграли спробуйте знайти розв'язок самостійно, якщо не зможете розв'язати звертайтеся до нас.
Практикуйте і подібні інтеграли не будуть для Вас перешкодою в навчанні.
