ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк. Точки екстремуму функції. №53-54

ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Видавництво: Гімназія
Рік: 2011
ISBN: 978-966-474-163-4
Завантажити (скачать) ГДЗ: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

1 Варіант

Приклад 53. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1)
Розв'язання: ОДЗ полінома вся дійсна вісь
Обчислюємо похідну

та прирівнюємо до нуля

Між коренями похідна додатна

значить функція зростає на проміжку та спадає на сусідніх
В -1 маємо мінімум, а в 2 функція досягає максимуму. Значення ординати в точках екстремуму наступні



Графічно знайдені точки екстремуму та проміжки монотонності наведено на рисунку

2) f(x)=x⁴-2x²+3

Розв'язання: ОДЗ біквадратної функції дійсна вісь
З рівності похідної нуля визначаємо критичні точки

Отримали 3 точки, встановлюємо знак похідної на інтервалах

Маємо два проміжки зростання функції

та два де функція спадає

В одиниці та мінус одиниці маємо мінімуми і максимум в нулі.
Значення функції в точках екстремуму наступні



Графік полінома із знайденими екстремумами наочно ілюструє пророблену роботу

3)
Розв'язання: ОДЗ дробової функції всі точки за винятком (-3 – нуль знаменника).
Обчислюємо похідну від частки

Похідна додатна на всій області визначення, а отже функція всюди зростає.
Її графік має вигляд

4)
Розв'язання:ОДЗ функції множина дійсних чисел
З рівності нулю похідної встановимо критичні точки




Числову вісь розбиваємо знайденими точками на інтервали та встановлюємо знаки похідної .
Оскільки дужки є в парному степені, то при переході через (-1) похідна не змінює знак.
Функція зростає на 3 інтервалах

та спадає на проміжку

Отримали точку мінімуму x=2, точку максимуму x=2/7 та перегину x=-1.

Ордината точки мінімуму

Максимум спробуйте обчислити самостійно, надто дробове число має вийти.
Наглядний графік функції дає ясність на багато речей

5)

Розв'язання: ОДЗ функції вся вісь крім нуля знаменника

Шукаємо похідну від частки


та критичні точки функції

При переході через (-1) похідна не змінює знак, так як знаменнику дужка в парному степені. В нулі похідна менша нуля

отже на інтервалі між (-1) і 1функція спадає. Далі розставляємо знаки похідної згідно правил

Отримали, що функція зростає на інтервалах

та спадає посередині

При x=-3 маємо максимум, в точці x=1 – мінімум функції.

Ординати екстремумів обчислюємо підстановкою в функцію


Особливості поведінки відображає графік функції

6)

Розв'язання: Область визначення встановлюємо з умови обмеження кореня

Обчислюємо похідну

і знаходимо критичні точки

Дана точка не належить області визначення До них добавляємо нулі знаменника

Перевіряємо знак похідної в одиниці

Отже функція зростає на інтервалі

та спадає при

Точок екстремуму функція немає, а її графік має вигляд

7)

Розв'язання: Область визначення вся вісь, оскільки знаменник завжди більший нуля.
Визначимо критичні точки функції

Крім того точка x=0 є точкою перегину, оскільки змінна входить в похідну при парному степені. Похідна всюди додатна, отже функція зростає на множині дійсних чисел і немає точок екстремуму.
Графік функції наведено нижче

8)
Розв'язання: Область визначення обмежена двома нулями знаменника

Встановимо критичні точки функції



Функція спадає при більших значеннях змінної за нуль

та зростає зліва від інтервалів

В нулі маємо максимум

Графік функції із встановленими характеристиками наступний

Приклад 54. Знайдіть, при яких значеннях a функція

1) не має критичних точок;
2) не має точок екстремуму.

Розв'язання:
1) Область визначення вся дійсна вісь.
Не має критичних точок означає, що похідна не дорівнює нулеві.
Знайдемо похідну

Визначимо параметр a

Синус приймає значення від (-1) до 1. Необхідно, щоб права сторона приймала значення за межами проміжку

Отримали два інтервали розв'язків

2) На краях знайденого інтервалу критичні точки будуть перегинами, це слідує з вигляду функції перша –періодична парна, друга – рівняння прямої. Тобто на краях немає точок екстремуму

Переконатися в цьому Ви можете з графіків відповідних функцій

Розв'язки до Збірника задач з алгебри 11 клас. Мерзляк

• Попередні відповіді - Точки екстремуму функції. №52
• Наступні відповіді - Найбільше і найменше значення функції на відрізку
• Зміст: ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

Переглянути тематично подібні матеріали

• ГДЗ Алгебра і початки аналізу 11 клас. Бевз
• ГДЗ Алгебра і початки аналізу 11 клас. Шкіль

Сподобався матеріал - порекомендуйте друзям!