Формули похідної добутку та частки функцій + приклади

 На попередньому уроці ми з Вами пройшлися по всіх головних формулах таблиці похідних, та розв'язали цікаві варіанти похідної складеної функції. Для школярів 10, 11 класів практичних завдань було більш ніж достатньо, щоб самостійно розібратися з темою та почати обчислювати важчі похідні.

На сьогоднішньому уроці розберемо по 10 прикладів на похідну добутку функцій та 10 на частку функцій. Пояснень мінімум, але з формул все буде зрозуміло.

Формула похідної добутку функцій
y'=(u·v)'=u'·v+u·v' (5)

Інструкція до формул наступна: моменти, що важливі при обчисленні похідних виділені чорним кольором. Для економії місця в самих формулах не писали y'=, хоча всім зрозуміло, що їх шукаємо. Це для економії місця, оскільки понад 60% аудиторії сайту - це студенти і школярі, що заходять на сайт з мобільних пристроїв. Все для зручності їх навчання!

Приклад 1. Знайти похідні:
1) y=x²·√x.
Щоб продиференціювати добуток двох функцій похідну від першої функції множимо на 2 + добуток першої функції на похідну другої

2) y=√(3x)·sin(4x).
Тут маємо добуток складених функцій, тому коли шукаємо похідну функції необхідно ще домножити на похідну вложеного аргументу!(k·x)'=k

Обчислимо цю ж похідну, як на попередніх уроках, в мат. пакеті Maple:
y1 := sqrt(3*x)*sin(4*x);
diff(y1, x);

3) y=e^5x·ln(x).

4) y=e^2x·1/(2x).
Даний приклад можемо обчислювати як за формулою добутку, так і частки.
Основні похідні, що Ви маєте навчитися визначати виділені чорним.

5) y=2^x·√(3x).
За формулами (9, 10) знаходимо:

6) y=√(4x)·sin(3x).
Похідну кореня квадратного Ви бачили часто, похідна від синуса рівна косинусу + додатково скрізь домножуємо на похідну аргументу:

7) y=4^x·tg(3x).
Тут при похідній тангенса дістанемо додатково 3 з похідної аргументу (3х)'=3.
Показникову функцію ми вже диференціювали не один раз і похідну Ви мали б знати як знайти.

8) y=(2x+x³)·arcsin(x).
Похідна арксинуса в таблиці на початку уроку під 20 номером, поліноми за (3, 8) формулами.

9) y=tg(x)·arctg(x).
Похідні тангенса та арктангенса це прості табличні формули (16, 22).

10) y=√(5x)·arcсtg(x).
Похідну арккотангенса знаходимо за формулою (23) таблиці:

Все решта – просте правило похідної добутку.

Формула похідної частки функцій
y'=(u/v)'=(u'·v-u·v')/v² (6)

Уважно проаналізуйте формулу, в чисельнику маємо вираз подібний до похідної добутку, тільки перед другим доданком знак мінус. В знаменнику квадрат знаменника заданої функції. Правило похідної частки легко і запам'ятати, і вивести з правила похідної добутку, замінивши ділення на функцію в знаменника на множення неї в -1 степені.
Переходимо до прикладів, по які Ви сюди й прийшли.

Приклад 2.Обчислити похідні:

11) y=(x²+3x-1)/(x³+4x).
Похідну частки поліномів рівна.

Щоб розписати розкрийте дужки в чисельнику та винесіть "ікс" із знаменника самостійно.
Ми ж знаємо як такі обчислення отримати в онлайн сервісі wolframalpha

12) y=arcсtg(x)/√(5x).
Коли беремо похідну від кореня, як складеної функції, то потрібно домножити на похідну від аргументу (5x)'=5.

Щоб цього не робити можна √5 винести за дужки, тоді при похідній він залишиться в чисельнику
√5(√х)'=√5/(2√x).
Можна перевірити обчислення в Мейплі:
y1 := arccot(x)/sqrt(5*x);
DY := diff(y1, x);

Можете перевірити самостійно та переконтися, що відповіді між собою рівні.

13) y=(x²-e^5x)/(2^x-x³).
Маємо поєднання показникових та степеневих функцій, уважно перегляньте як брати похідну.

14) y=e^3x/lg(2x).
lg - це логарифм десятковий, тому похідну знаходимо за формулою (12).

15) y=lg(5x)/3^x.
Ще одне завдання на похідну логарифма десяткового, щоб Ви зауважили, що множник при "ікс" відсутній внаслідок спрощення від похідної складного аргументу.

Це собі запам'ятайте або переглядайте ці приклади при підготовці до тестів чи екзаменів.

16) y=sin(x)/4^x.
Такий розв'язок під силу усім, достатньо мати таблицю похідних.

17) y=2^x/tg(7-x).
Коли перед "іксом" знак мінус, то і похідна аргументу (7-x)'=-1, будьте уважні з цим. Решту обчислень диктує правило похідної частки функцій:

18) y=ln(x)/(x^2+7x).
Тут в чисельнику маємо табличний натуральний логарифм, в знаменнику поліном. За формулами (8, 13) знаходимо виділені далі похідні.

19) y=x^1/3/e^4x.
Похідну кореня кубічного, що є в чисельнику функції знаходимо за (8) формулою таблиці похідних. Похідна експоненти рівна самій експоненті + домножуємо на похідну аргументу (4x)'=4.

20) y=e^3x/x².

Сподіваюсь, що з цього уроку Ви взяли для себе багато нового. Вчіться використовувати формули похідних на практиці, все решта це просте групування подібних доданків та розкриття дужок.
Якщо виникають труднощі в розрахунках – звертайтесь за консультацією, можемо допомогти і з розв'язанням розрахункової чи підготовці до екзамену!