Похідна добутку та частки функцій

Спершу розглянемо похідні добутку функцій. Хто вже вивчив правило добутку (u·v)', можете пропустити першу частину та одразу перейти за посиланням до прикладів похідної від частки функцій.
По можливості майте таблицю похідних під рукою при вивченні теми диференціювання функцій та знаходженні похідних.

Правило похідної добутку функцій
y'=(u·v)'=u'·v+u·v' (5)

Приклад 1 Обчислити похідну
y=(3x+7)(2x³+4x+5).
Розв'язування: Багато студентів відкривають дужки і перемножають виразм в них, а вже тоді беруть похідну. Правильно в таких випадках використовувати формулу (5). Першу дужки позначимо за u, другу через v, та продиференціюємо
u'=(3x+7)'=3;
v'=(2x³+4x+5)'=6x²+4.
Можемо знайти похідну
y'=u'·v+u·v'=3(2x³+4x+5)+(3x+7)(6x²+4)=
=6x³+12x+15+18x³+42x²+12x+28=
=24x³+42x²+24x+43.
Тут в поясненнях правило похідної добутку містить лише перший рядок формули, решта все – це розкриття дужок та сумування подібних доданків.

Приклад 2 Обчислити похідну
y=x²sin(x).
Розв'язування: Проаналізуйте хід обчислення похідної за формулою:

Приклад 3 Обчислити першу похідну
y=e^2x·cos(6x-1).
Розв'язування: Спершу детально розглянемо правило похідної добутку функцій, потрібно знайти похідну першої функції та помножити на другу та додати похідну другої помножену на першу функцію.
Позначимо за u=e^2x, v=cos(6x-1) та обчислимо їх похідні:
u'=(e^2x)'=e^2x·(2x)'=2e^2x,
v'=(cos(6x-1))'=-sin(6x-1)·(6x-1)'=-6·sin(6x-1).
Підставляємо в формулу похідної добутку функцій
y=u'·v+u·v'=2e^2x·cos(6x-1)-6e^2x·sin(6x-1).

Приклад 4 Знайти похідну
y=e^x·tg(x).
Розв'язування: З алгоритму знаємо, що спершу слід вибрати функції
u=e^x, v=tg(x).
Далі знайти їх похідні
u'=(e^x)'=e^x;
v'=(tg(x))'=1/cos²(x).
та підставити за правилом (5):

Проаналізуйте та спробуйте повторити самостійно.

Приклад 5 Знайти похідну
y=√x·(x²+3x+4).
Розв'язування: Завдання можна розв'язати без застосування правила добутку функцій. Для цього корінь квадратний подати як аргумент в степені 1/2 (x^0.5), розкрити дужки і перемножити:
y=x^0.5·(x²+3x+4)=x^2+0.5+3x^1+0.5+4x^0.5.
Розпишіть самостійно, та застосуйте формули (8,9).
Ми ж вчимося використовувати похідну добутку:
y'=(√x)'·(x²+3x+4)+√x·(x²+3x+4)'=
=1/(2√x)·(x²+3x+4) +√x·(2x+3)=
=1/2·(x²+3x+4)·√x/x+·(2x+3)√x.
Можна ще згрупувати, але то вже робота для Вас.
Головне, що ми хотіли Вам донести, тут виконано.

Приклад 6 Знайти похідну
y=log₂(3x+2)·ctg(5x).
Розв'язування: Обчислимо спершу похідну логарифма, котангенса та підставимо в формулу похідної добутку:

На попередньому уроці ми почали вивчати диференціювання фунцій в математичному пакеті Maple, сьогодні продовжимо на окремих прикладах.
Щоб продиференціювати задану функцію скористаємося кодом:
y1 := log[2](3*x+2)*cot(5*x);
DY := diff(y1, x);

Результат в нас правильний, просто в Мейплі по своєму закладені формули окремих похідних.
Так, наприклад, похідна котангена рівна
(ctg(5x))'=5-ctg²(5x)
і при поданні котангенса через частку косинуса до синуса результат не зміниться, просто так закладено в програмі.

Приклад 7 Знайти похідну функції
y=e^5x-1·sin²(x).
Розв'язування: Застосовуємо правило (5):
y'=(e^5x-1)'·sin²(x)+e^5x-1·(sin²(x))'=
=5e^5x-1·sin²(x)+e^5x-1·2sin(x)cos(x)=
=e^5x-1·(5sin²(x)+sin(2x)).
Не бійтеся робити помилки та задавати "неправильні" питання, без цього неможливе будь-яке навчання.

Приклад 8 Обчислити похідну
y=√x·sin(x)·cos(x).
Розв'язування: Тут маємо добуток трьох функцій, але правило похідної добутку справедливе для будь-якої кількості ф-й.
В цьому прикладі добуток синуса на косинус можна замінити синусом подвійного кута, але ми не шукаємо легких шляхів, тому розбирайте відповідь нижче:

Перевіримо, яку похідну отримаємо в Maple
y1 := sqrt(x)*sin(x)*cos(x);
DY := diff(y1, x);

Похідна DY відповідає передостанньому рядку в наших обчисленнях, а от спрощення відрізняється, оскільки ми використали формулу косинуса подвійного кута.
На сайті wolframalpha похідна буде наступною:

Де краще та швидше вибирати Вам, але альтернативні варіанти знати потрібно.

Приклад 9 Знайти похідні функцій
а) y=(x+5)(x-8);
б) y=x²(2x-7);
в) y=√x(5-3x).
Розв'язування: Самостійно проаналізуйте готові похідні з формул:

Приклад 10 Обчислити першу похідну
y=(2-x)/√2·arctg(x).
Розв'язування: Знайдемо похідну першої функції за правилом похідної частки (6):

Можна було розписати дріб на сталу 2/√2 мінус "ікс" поділений на √2 та знайти похідну за правилом суми. Спробуйте цей варіант самостійно, це легший спосіб аніж запропонований.

Похідна від арктангенса за формулою (22) рівна
(arctg(x))'=1/(1+x²).
Підставляємо в правило похідної добутку:

Вчіться на простіших завданнях, тому що на практичних прийдеться розбирати важчі приклади, а досвіду не будете мати як це правильно робити.

Правило похідної частки функцій
y'=(u/v)'=(u'·v-u·v')/v² (6)

Повторно приводимо таблицю похідних, щоб мати їх перед очима при обчисленнях

Приклад 1 Обчислити похідну
y=2/х.
Розв'язування: Застосовуємо правило похідної частки:

Можна було спростити розрахунки, враховуючи, що стала виносимо за похідну. Далі за формулою (7):
y=2·1/x;
y'=2*(1/x)'=2*(-1/x²)=-2/x².

Приклад 2 Знайти похідну
y=(3x-1)/x⁴.
Розв'язування: За правилом (6) та формулами (2,8) розписуємо:

Коли в якості u, v задані поліноми чи експоненти, то, як правило, труднощів з обчисленнями немає.

Приклад 3 Знайти першу похідну
y=x/sin(x).
Розв'язування: Знаходимо похідну частки аргументу до синуса за формулою (6):

Приклад 4 Обчислити похідну функції
y=(x²+x+1)/(x²-x+1).
Розв'язування: Маємо частку поліномів. Можна окремо знайти похідні чисельника і знаменника та підставити в (6), або розписати як у формулі нижче:

Перевіримо похідну функції в Мейплі
y1 := (x²+x+1)/(x²-x+1);
DY := diff(y1, x);
simplify(DY);

Результат порівняйте самостійно із раніше знайденим.

Приклад 5 Вивести першу похідну функції
y=(ax+b)/(cx+d).
Розв'язування: За правилом похідної частки функцій (6) отримаємо:

Приклад 6 Знайти похідну
y=(√x+1)/(√x-1).
Розв'язування: Похідні кореневих функцій обчислювали на попередньому уроці за формулою (9), тут додатково, ще використовуємо правило похідної частки функцій (6):

Приклад 7 Обчислити першу похідну
y=3/x-x/2+ln(x)/(2x).
Розв'язування: Застосовуємо правило похідної суми, та частки функцій до 1 та 3 доданку:

Перевіримо чи правильно знайшли похідну за допомогою Maple:
y1 := 3/x-(1/2)*x+ln(x)/(2*x);
DY := diff(y1, x);
simplify(DY);
В результаті отримаємо

Порівнявши відповіді переконуємося, що похідна знайдена вірно.
Виконуємо розрахункові та контрольні з усіх тем, що є на сайті, тому сміло можете замовляти роботи або звертатися за консультацією щодо обчислень.

В наступних уроках розберемо нові функції та правила знаходження похідних від них, а покищо вправляйтеся самостійно.