Розв'язування прикладів на похідні не обходиться без таблиці похідних.
таблиця похідних
Її завжди слід мати видрукованою під рукою і користуватися при обчисленнях як шпаргалкою. Голова не смітник, і всього що вчать не запам'ятати, а от вміти користуватися формулами та правильно знаходити похідні може навчитися кожен школяр і студент. Перші дві формули прості, перша говорить, що похідна від сталої рівна 0, друга - похідна "ікса" рівна одиниці.
Далі йдуть формули похідних суми, добутку та частки, їх застосовують коли задану функцію можна подати у вигляді суми, добутку чи частки функцій.
Окремий урок ми приділимо похідній складеної функції (24), а поки що ознайомтеся з формулою як її знаходити

Далі на поширених з практичних прикладах навчимо Вас користуватися усіма приведеними тут формулами. Наостанок покажемо Вам, як можна знаходити похідні функцій в математичному пакеті Maple.

Похідна суми, добутку та частки функцій

Приклад 1 Знайдіть похідну
y=x^5-4x^3+2x^2-7x.
Розв'язування: Використовуємо 2 та 8 формули та правила 3,4
знаходження похідної
Отримали похідну
y'=5x4-12x2+4x-7.

Приклад 2 Обчисліть похідну
y=√(3x).
Розв'язування: Тут напряму формулу (9) не використаємо. Але можемо звести під формулу складеної функції.
Якщо y=f(u(x)), то похідна рівна y=f'u*u'x.
Для кореневої функції y=√(3x) виконаємо заміну:
u=3x, тоді y=√u.
Тоді за формулою (9) похідна рівна
похідна кореня квадратного

Приклад 3 Обчисліть похідну
y=5^3x+7^2x.
Розв'язування: Застосуємо десяту формулу для обчислення похідної показникової функції, тільки пам'ятаємо, що степені не 1, тому додатково домножуємо на похідну степеня (3x)'=3, (2x)'=2.
y'=(5^3x+7^2x)'= 53x·ln5·(3x)'+72x·ln7·(2x)'=
=3·53x·ln5+2·72x·ln7.

Спершу важко читати та зрозуміти як знаходили похідну, але вивчивши формули та правила, все стає зрозумілим.

Приклад 4 Обчисліть похідну
y=x^(a-b)+x^3.
Розв'язування: Вважаємо, що a-b≠0. Тоді похідну степеневої функції обчислюємо за формулою (8).
y'=(x^(a-b))'+(x^3)'=(a-b)·x^(a-b-1)+3x^(3-1)=
=(a-b)·x(a-b-1)+3x2
.
Формула похідної степеневої функції (xn)'=n·xn-1найпоширеніша на практиці, тому її добре запам'ятайте. Багато похідних складених або складних функцій обчислюють з її допомогою.
Якщо не вірите, прочитайте готові відповіді до наступних завдань.

Приклад 5 Знайдіть похідну функції
y=(x^2-2x+3)^5.
Розв'язування: На практиці ніхто з Вас не буде піднімати поліном x^2-2x+3 до 5 степеня, а тоді обчислювати похідну. За формулою складеної функції, перепозначимо:
y=u5, u=x2-2x+3.
Тоді похідна рівна

Простіше вже бути не може.

 

Приклад 6 Знайдіть похідну функції
y=sin3(x).
Розв'язування:Щоб були зрозіміліші пояснення до обчислення похідної, покладемо: u=sin(x),
тоді y=u3, а похідна рівна
y'=3u2·u'.
В результаті отримаємо

Приклад 7 Обчислити похідну
y=e3x+ex^2+3x.
Розв'язування: Завдання на застосування похідної від експоненціальної функції (11). Тільки незрозуміло спершу, що робити з показником в другій експоненті x2+3x. Відповідь проста, перепозначити і знаходити за формулою похідної складеної функції.
u=3x, t=x2+3x, y=eu+et.
Тоді похідна суми експонент рівна
y'=(eu)'+(et)'=eu·u'+et·t'=
=e3x·(3x)'+ex^2+3x·(x2+3x)'=
=3e3x+(x2+3x)·ex^2+3x.


І так для всієї таблиці похідних, як тільки множник при "ікс" не рівний одиниці перепозначайте його і знаходьте похідну складеної функції, з часом Ви автоматично навчитеся записувати похідні без перепозначень.
Для прикладу
(e7x)'=e7x·7,
(e√x)'=e√x·(√x)'=e√x/(2√x),

(e3^x)=e3^x·(3x)'=3x·ln3·e3^x.
В такий спосіб можна поєднувати всі формули таблиці, але це в теорії, щоб навчити Вас аналітично обчислювати похідні. На практиці часто функції мають складний вигляд і усі обчислення похідних зводяться до приростів, градієнтів і т.д., які знаходять числово.

Приклад 8 Знайдіть похідну
y=e5sin(x)+cos(x)+2
Розв'язування: Можна вираз, що є в показнику експоненти позначити за нову змінну і далі похідну від експоненти по цій змінній помножити на похідну самої змінної.
похідна експоненти

В попередніх завданнях ми вже ознайомилися з правилом похідної суми. Перейдемо до вивчення правила похідної добутку функцій
y'=(u·v)'=u'·v+u·v' (5)

Приклад 9 Знайти похідну за правилом добутку функцій
y=(1-x3)·(x4+4x).
Розв'язування: На початках для простоти обчислень, можете виконувати заміни:
u=1-x3, v=x4+4x, тоді y=u·v.
Далі за формулою похідної добутку функцій
y'=(u·v)'=u'·v+u·v',
обчислити похідні та підставити в праву сторону.
Спробуйте виконати так для кількох добутків функцій і Ви навчитеся обходитися без покрокового обчислення. Тоді Ваша відповідь прийде до наступного вигляду
похідна добутку функцій

Спершу це важко зробити без помилок, але ми для того і вчимося, щоб вміти робити те, про що раніше не знали.

Приклад 10 Обчислити похідну функції
y=x2·ln(x+5).
Розв'язування: Застосуємо правило похідної добутку та формулу для логарифма (13). Перед переглядом відповіді можете самостійно знайти похідну, поклавши
y=u·v, u=x2, v=ln(x+5) в формулу (5).
Звірте чи отримали ту ж відповідь.
y'=(u·v)'=u'·v+u·v'
y'=(x2)'·ln(x+5)+x2·(ln(x+5))'=
=2x·ln(x+5)+x2·1/(x+5)·(x+5)'=
=2x·ln(x+5)+x2/(x+5)
.
З формули слідує, що якщо при аргументу "x" немає множника, а лише стала як доданок, то похідну можна не брати, тобто
(x+5)'=1,
а одиниця як множник "погоди" в похідну не вносить.

Познайомимося на кількох прикладах з формулою похідної частки функцій
y'=(u/v)'=(u'·v-u·v')/v2 (11)

Приклад 11 Обчислити похідну функції
y=(1+x2)/(1-x2).
Розв'язування: За правилом похідної частки в чисельнику дістанемо
(1+x2)*(1-x2)'+(1+x2)'*(1-x2),
в знаменнику похідної буде квадрат знаменника заданої функції.
Після розписання похідних та групування подібних доданків, остаточно отримаємо:

І так для всіх часток функцій, що Вам зустрічаються.

 

Приклад 12 Обчислити похідну функції
y=cos(x)/(x2+2x+3).
Розв'язування: Правило похідної частки дає наступний алгоритм обчислень.
В чисельнику похідної отримаємо
cos(x)*(x2+2x+3)'+(cos(x))'*(x2+2x+3),
в знаменнику квадрат знаменника, що заданий.
Знаходимо похідні та розписуємо
похідна частки
Винятком з правила частки є функції, де знаменник дробу можна загнати в чисельник як вираз з від'ємним степенем. Але це для простих функцій, тоді вдається розписати похідну за правилом добутку функцій.

Обчислення похідної в Maple

Далі навчимо Вас обчислювати похідні в математичному пакеті Maple. Його код простий для вивчення і в ньому легко досліджувати функції, знаходити інтеграли та похідні функцій, будувати графіки та обчислювати границі функцій.
Для обчислення похідної в Мейпл відповідає команда diff().

Приклад 13 Обчислити похідну
y=ex·(sin(x)-cos(x)).
Розв'язування: Застосуємо правило похідної добутку та формулу для логарифма похідна добутку функцій

Перевіримо правильність обчислень в Мейплі. Для цього вводимо:
restart;
y := exp(x)*(sin(x)-cos(x));
DY := diff(y, x);
simplify(DY);

В результаті отримаємо
обчислення похідних в мейпл
Тут довелося застосувати команду simplify(), для групування доданків після застосування правила множення.
Перевагою програмного знаходження похідних є те, що Ви не помилитеся з відповіддю, якщо правильно введете функцію.

Як перевірити похідну складеної функції?
Нехай маємо такі завдання.

Похідну наступних складених функцій будемо обчислювати за правилом

і для всіх вложених функцій.

Приклад 14 Знайти похідну функції
y=sin·(tg(√x)).
Розв'язування: Маємо косинус від тангенса від кореня квадратного. За правилом похідної складеної функції необхідно похідну від синуса (14) помножити на похідну від тангенса (16) по його внутрішній функції (по √x, не плутати з x) і помножити на похідну від кореня квадратного (9) по аргументу.похідна функції
Повірте, що мало хто з Вас спершу отримає правильну відповідь.
Перевіримо похідну в Мейпл, поміняємо тільки перший рядок з попереднього прикладу, де замінимо функцію для диференціювання:
y := sin(tan(sqrt(x)));
DY := diff(y, x);

В результаті отримаємо
диференціювання в Maple
Легко догадатися, що в чисельнику в косинусі маємо формулу тангенса.
один в один як в аналітичному розв'язку.

Приклад 15 Знайти похідну функції
y=sin·(√(ln8^x)).
Розв'язування: Маємо 3 вложені функції: корінь квадратний, логарифм та показникову 8x функції.
Щоб правильно знайти похідну приймайте внутрішню функцію за змінну, тоді зовнішні похідні знаходимо з таблиці, і кожен раз домножуємо на похідну від змінної по її "аргументу".
В такий спосіб дістанемо добуток похідних від синуса на похідну від кореня на похідну від логарифма і наостанок, це все множимо на похідну від 8x.
Кожен блок м виділили, щоб Вам простіше було читати формулу.
похідна складеної функції
На 8x можна спростити, але це вже дрібниці в порівнянні з тим, що знайдено.
Перевіримо результат в мейплі.
y := sin(sqrt(ln(8^x)));
DY := diff(y, x);

Результат знаходження похідної в Maple
похідна в мейпл

На похдній добутку та частки функцій разом з Вами детальніше зупинимося в наступних уроках, також окремо розберемо похідні всіх можливих тригонометричних та обернених до них функцій. Практикуючи самостійно Ви поступово відшліфуєте формули, що тут даються і з часом, маючи під рукою саму лише таблицю похідних зможете легко продиференціювати будь-яку складну функцію.