Похідні функцій. Готові приклади

Розв'язування прикладів на похідні не обходиться без таблиці похідних.

Її завжди слід мати видрукованою під рукою і користуватися при обчисленнях як шпаргалкою. Голова не смітник, і всього що вчать не запам'ятати, а от вміти користуватися формулами та правильно знаходити похідні може навчитися кожен школяр і студент. Перші дві формули прості, перша говорить, що похідна від сталої рівна 0, друга - похідна "ікса" рівна одиниці.
Далі йдуть формули похідних суми, добутку та частки, їх застосовують коли задану функцію можна подати у вигляді суми, добутку чи частки функцій.
Окремий урок ми приділимо похідній складеної функції (24), а поки що ознайомтеся з формулою як її знаходити

Далі на поширених з практичних прикладах навчимо Вас користуватися усіма приведеними тут формулами. Наостанок покажемо Вам, як можна знаходити похідні функцій в математичному пакеті Maple.

Похідна суми, добутку та частки функцій

Приклад 1 Знайдіть похідну
y=x⁵-4x³+2x²-7x.
Розв'язування: Використовуємо 2 та 8 формули та правила 3,4

Отримали похідну
y'=5x⁴-12x²+4x-7.

Приклад 2 Обчисліть похідну
y=√(3x).
Розв'язування: Тут напряму формулу (9) не використаємо. Але можемо звести під формулу складеної функції.
Якщо y=f(u(x)), то похідна рівна y=f'_u*u'_x.
Для кореневої функції y=√(3x) виконаємо заміну:
u=3x, тоді y=√u.
Тоді за формулою (9) похідна рівна

Приклад 3 Обчисліть похідну
y=5^3x+7^2x.
Розв'язування: Застосуємо десяту формулу для обчислення похідної показникової функції, тільки пам'ятаємо, що в степені не 1-ці, тому додатково домножуємо на похідну степеня (3x)'=3, (2x)'=2.
y'=(5^3x+7^2x)'= 5^3x·ln5·(3x)'+7^2x·ln7·(2x)'=
=3·5^3x·ln5+2·7^2x·ln7.
Спершу важко читати та зрозуміти як знаходили похідну, але вивчивши формули та правила, все стає зрозумілим.

Приклад 4 Обчисліть похідну
y=x^a-b+x³.
Розв'язування: Вважаємо, що a-b≠0. Тоді похідну степеневої функції обчислюємо за формулою (8).
y'=(x^(a-b))'+(x³)'=(a-b)·x^a-b-1+3x^(3-1)=
=(a-b)·x^(a-b-1)+3x².
Формула похідної степеневої функції (xⁿ)'=n·x^n-1найпоширеніша на практиці, тому її добре запам'ятайте. Багато похідних складених або складних функцій обчислюють з її допомогою.
Якщо не вірите, прочитайте готові відповіді до наступних завдань.

Приклад 5 Знайдіть похідну функції
y=(x²-2x+3)⁵.
Розв'язування: На практиці ніхто з Вас не буде піднімати квадратний тричлен x²-2x+3 до 5 степеня, а тоді обчислювати похідну. За формулою складеної функції, перепозначимо:
y=u⁵, u=x²-2x+3.
Тоді похідна рівна

Простіше вже бути не може.

Приклад 6 Знайдіть похідну функції
y=sin³(x).
Розв'язування:Щоб були зрозіміліші пояснення до обчислення похідної, покладемо: u=sin(x),
тоді y=u³, а похідна рівна
y'=3u²·u'.
В результаті отримаємо

Приклад 7 Обчислити похідну
y=e^3x+e^x2+3x.
Розв'язування: Завдання на застосування похідної від експоненціальної функції (11). Тільки незрозуміло спершу, що робити з показником в другій експоненті x²+3x. Відповідь проста, перепозначити і знаходити за формулою похідної складеної функції.
u=3x, t=x²+3x, y=e^u+e^t.
Тоді похідна суми експонент рівна
y'=(e^u)'+(e^t)'=e^u·u'+e^t·t'=
=e^3x·(3x)'+e^x2+3x·(x²+3x)'=
=3e^3x+(x²+3x)·e^x2+3x.

І так для всієї таблиці похідних, як тільки множник при "ікс" не рівний одиниці перепозначайте його і знаходьте похідну складеної функції, з часом Ви автоматично навчитеся записувати похідні без перепозначень.
Для прикладу
(e^7x)'=e^7x·7,
(e^√x)'=e^√x·(√x)'=e^√x/(2√x),
(e^{3^x})=e^{3^x}·(3^x)'=3^x·ln3·e^{3^x}.
В такий спосіб можна поєднувати всі формули таблиці, але це в теорії, щоб навчити Вас аналітично обчислювати похідні. На практиці часто функції мають складний вигляд і усі обчислення похідних зводяться до приростів, градієнтів і т.д., які знаходять числово.

Приклад 8 Знайдіть похідну
y=e^{5sin(x)+cos(x)+2}
Розв'язування: Можна вираз, що є в показнику експоненти позначити за нову змінну і далі похідну від експоненти по цій змінній помножити на похідну самої змінної.

В попередніх завданнях ми вже ознайомилися з правилом похідної суми. Перейдемо до вивчення правила похідної добутку функцій
y'=(u·v)'=u'·v+u·v' (5)

Приклад 9 Знайти похідну за правилом добутку функцій
y=(1-x³)·(x⁴+4x).
Розв'язування: На початках для простоти обчислень, можете виконувати заміни:
u=1-x³, v=x⁴+4x, тоді y=u·v.
Далі за формулою похідної добутку функцій
y'=(u·v)'=u'·v+u·v',
обчислити похідні та підставити в праву сторону.
Спробуйте виконати так для кількох добутків функцій і Ви навчитеся обходитися без покрокового обчислення. Тоді Ваша відповідь прийде до наступного вигляду

Спершу це важко зробити без помилок, але ми для того і вчимося, щоб вміти робити те, про що раніше не знали.

Приклад 10 Обчислити похідну функції
y=x²·ln(x+5).
Розв'язування: Застосуємо правило похідної добутку та формулу для логарифма (13). Перед переглядом відповіді можете самостійно знайти похідну, поклавши
y=u·v, u=x², v=ln(x+5) в формулу (5).
Звірте чи отримали ту ж відповідь.
y'=(u·v)'=u'·v+u·v'
y'=(x²)'·ln(x+5)+x²·(ln(x+5))'=
=2x·ln(x+5)+x²·1/(x+5)·(x+5)'=
=2x·ln(x+5)+x²/(x+5).
З формули слідує, що якщо при аргументу "x" немає множника, а лише стала як доданок, то похідну можна не брати, тобто
(x+5)'=1,
а одиниця як множник "погоди" в похідну не вносить.

Познайомимося на кількох прикладах з формулою похідної частки функцій
y'=(u/v)'=(u'·v-u·v')/v² (11)

Приклад 11 Обчислити похідну функції
y=(1+x²)/(1-x²).
Розв'язування: За правилом похідної частки в чисельнику дістанемо
(1+x²)*(1-x²)'+(1+x²)'*(1-x²),
в знаменнику похідної буде квадрат знаменника заданої функції.
Після розписання похідних та групування подібних доданків, остаточно отримаємо:

І так для всіх часток функцій, що Вам зустрічаються.

Приклад 12 Обчислити похідну функції
y=cos(x)/(x²+2x+3).
Розв'язування: Правило похідної частки дає наступний алгоритм обчислень.
В чисельнику похідної отримаємо
cos(x)*(x²+2x+3)'+(cos(x))'*(x²+2x+3),
в знаменнику квадрат знаменника, що заданий.
Знаходимо похідні та розписуємо

Винятком з правила частки є функції, де знаменник дробу можна загнати в чисельник як вираз з від'ємним степенем. Але це для простих функцій, тоді вдається розписати похідну за правилом добутку функцій.

Обчислення похідної в Maple

Далі навчимо Вас обчислювати похідні в математичному пакеті Maple. Його код простий для вивчення і в ньому легко досліджувати функції, знаходити інтеграли та похідні функцій, будувати графіки та обчислювати границі функцій.
Для обчислення похідної в Мейпл відповідає команда diff().

Приклад 13 Обчислити похідну
y=e^x·(sin(x)-cos(x)).
Розв'язування: Застосуємо правило похідної добутку та формулу для логарифма

Перевіримо правильність обчислень в Мейплі. Для цього вводимо:
restart;
y := exp(x)*(sin(x)-cos(x));
DY := diff(y, x);
simplify(DY);
В результаті отримаємо

Тут довелося застосувати команду simplify(), для групування доданків після застосування правила множення.
Перевагою програмного знаходження похідних є те, що Ви не помилитеся з відповіддю, якщо правильно введете функцію.

Як перевірити похідну складеної функції?
Нехай маємо такі завдання.

Похідну наступних складених функцій будемо обчислювати за правилом

і для всіх вложених функцій.

Приклад 14 Знайти похідну функції
y=sin·(tg(√x)).
Розв'язування: Маємо косинус від тангенса від кореня квадратного. За правилом похідної складеної функції необхідно похідну від синуса (14) помножити на похідну від тангенса (16) по його внутрішній функції (по √x, не плутати з x) і помножити на похідну від кореня квадратного (9) по аргументу.
Повірте, що мало хто з Вас спершу отримає правильну відповідь.
Перевіримо похідну в Мейпл, поміняємо тільки перший рядок з попереднього прикладу, де замінимо функцію для диференціювання:
y := sin(tan(sqrt(x)));
DY := diff(y, x);
В результаті отримаємо

Легко догадатися, що в чисельнику в косинусі маємо формулу тангенса.
один в один як в аналітичному розв'язку.

Приклад 15 Знайти похідну функції
y=sin·(√(ln8^x)).
Розв'язування: Маємо 3 вложені функції: корінь квадратний, логарифм та показникову 8^x функції.
Щоб правильно знайти похідну приймайте внутрішню функцію за змінну, тоді зовнішні похідні знаходимо з таблиці, і кожен раз домножуємо на похідну від змінної по її "аргументу".
В такий спосіб дістанемо добуток похідних від синуса на похідну від кореня на похідну від логарифма і наостанок, це все множимо на похідну від 8^x.
Кожен блок м виділили, щоб Вам простіше було читати формулу.

На 8^x можна спростити, але це вже дрібниці в порівнянні з тим, що знайдено.
Перевіримо результат в мейплі.
y := sin(sqrt(ln(8^x)));
DY := diff(y, x);
Результат знаходження похідної в Maple

Як з ln(8) отримати ln(2) подумайте самостійно, тоді й переконаєтесь, що обидві відповіді співпадають.

На похдній добутку та частки функцій разом з Вами детальніше зупинимося в наступних уроках, також окремо розберемо похідні всіх можливих тригонометричних та обернених до них функцій. Практикуючи самостійно Ви поступово відшліфуєте формули, що тут даються і з часом, маючи під рукою саму лише таблицю похідних, зможете легко продиференціювати будь-яку складну функцію.