Метод логарифмічного диференціювання стає в нагоді при диференціюванні добутку кількох функцій або їх частки. Його зручно застосовувати при дифенеціюванні виразів, що містять корені із дробів (функцій), а також коли показник функції також являє собою складену функцію y=f(x)g(x)
В таких випадках доцільно обидві частини виразу спочатку прологарифмувати за експонентою (e), а потім приступити до диференціювання. Цей спосіб одержав назву логарифмічного диференціювання. Похідну від логарифма функції називають логарифмічною похідною. Суть методу за допомогою формул можна описати наступним чином:
маємо складну функцію вигляду y=t(x);
до обох сторін застосовуємо логарифмування
ln(y)=ln(t(x))
і знаходимо похідні правої і лівої частини рівності у вигляді формул
Прирівнюємо похідні і виражаємо y'
В цьому вся суть методу, далі все залежить від функції t(x).
Якщо t(x) задана добутком функцій
то за властивостями логарифма при диференціюванні отримаємо суму логарифмів
Якщо маємо дробову функцію
то, застосовуючи логарифмування, отримаємо різницю логарифмів
Якщо маємо складену показникову функцію (функція в степені іншої)
то за властивостями логарифма отримаємо залежність
У випадку коренів (g(x)=С=1/2; 1/3, ...) диференціювання значно спрощується і отриамємо добуток показника на огарифм
Подальше обчислення похідних залежить від складності самих функцій. Розглянемо конкретні завдання, щоб даний матеріал став для Вас більш зрозумілішим і наочнішим.
Приклад 1. Використовуючи логарифмування знайти похідну
(Дубовик В.П., Юрик І.І. "Вища математика. Збірник задач" )
1) (5.2.178) y=x5x
Розв'язок. Приклади вибрано складні для того, щоб розкрити всю силу методу логарифмічного диференціювання та розглянути поширені для студентсьої практики приклади. Проведемо логарифмування лівої і правої частин
Далі знайдемо похідну добутку функцій
Похідна лівої частини показана при викладі теоретичного матеріалу. Записуємо результати обчислень
Далі переносимо функцію y із знаменника в праву частину та не забуваємо замінити її значення на вихідне
Незважаючи на складний вигляд даний приклад розв'язано.
2) (5.2.191)
Розв'язок.Знаходимо логарифм дробової функції
Проводимо диференціювання обох частин залежності
Зведемо під спільний знаменник праву сторону. В результаті математичних операцій отримаємо
Підставимо в вихідну формулу, перенісши функцію в праву частину
В результаті ряду нескладних маніпуляцій отримали досить компактний кінцевий результат похідної. При обчисленні даного прикладу напряму подібний результат довелося б шукати дуже довго.
3) (5.2.195)
Розв'язок.Незважаючи на складний вигляд, дану функцію на основі властивостей поазників можна переписати у вигляді
Застосуємо логарифмування
Похідна від правої частини рівна
Тут для спрощення подальших викладок позначии резуьтат диференціювання через t(x).
Враховуючи похідну від ln(y), остаточно отримаємо
Можна залишати в такому вигляді, оскільки суть даного уроку навчитися застосовувати метод логарифмічного диференціювання. Проте, якщо Ви захочете для спрощення звести все до спільного знаменника, то отримаєте таку відповідь
Повірте - це займе у Вас чимало часу
4) (5.2.199)
Розв'язок.Проводимо логарифмування функції
Далі за наведеною схемою знаходимо диференціюємо праву частину залежності
Підставивши в формулу для похідної від логарифма, отримаємо
На цьому розв'язування прикладу завершено.
Практикуйте з подібними завданнями і через певний час у Вас не буде жодних труднощів із знаходженням похідної через огарифмування функції.
