Диференціал дуги плоскої кривої характеризує приріст її довжини за короткий проміжок зміни і в декартовій системі координат визначається залежністю
Якщо крива задана у вигляді функціональної залежності y=f(x) то диференціал дуги визначаємо за формулою
При параметричному задані функції отримаємо наступні залежності
Якщо лінія задана в полярній системі координат, то диференціал дуги обчислюємо за формулою
З формул бачимо, що при обчисленнях потрібно знаходити похідні першого порядку.
Розглянемо приклади із збірника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. "Вища математика".
Приклад 1. Знайти диференціал дуги ліній:
(5.966) 
Розв'язок. Знаходимо диференціал довжини дуги за формулою
Для цього обчислюємо похідну функції
та підставляємо знайдене значення у формулу
Ось така вийде залежність довжини дуги від змінної.
(5.972) 
Розв'язок. Проводимо диференціювання логарифма, як складеної функції. Тут ще маємо і дробову функцію і експоненту, так що слідкуйте за обчисленнями
Знайдену похідну підставляємо в формулу для обчислення диференціалу дуги
Після групування та зведення до повних квадратів корені скоротяться.
(5.973) 
Розв'язок. Маємо параметрично задану функцію, для знаходження її диференціалу дуги обчислюємо похідні від аргументу x та змінної y за параметром t
Отримані значення підставляємо в формулу диференціалу дуги
Скориставшись формулою дя косинусів, записали залежність в компактному вигляді.
(5.974) 
Розв'язок. Астроїда задана параметричним рівнянням. Знаходимо похідні
Обчислюємо диференціал дуги, попередньо винісши за знак кореня спільні множники
(5.975) 
Розв'язок. Обчислюємо похідні параметрично заданої функції
та підставляємо у формулу для визначення диференціалу довжини дуги
(5.979) 
Розв'язок. Дана функція задана в полярній системі координат, тому її диференціал дуги визначаємо за останньою з наедених вгорі формул
Знаходимо похідну по радіусу
та підставляємо в корінь квадратний
Після спрощень отримаємо диференціал довжини дуги.
(5.980) 
(кардіоїда)
Розв'язок. Обчислюємо похідну функції в полярних координатах
та знаходимо приріст довжини дуги від кута
Розв'язані приклади знаходження диференціалу довжини дуги ривих, які задані в декартовій та полярній системах координат, а також параметрично показали, що основним в обчисленні є вміння диференціювати функції. Все решта зводиться до спрощень та відшукання коренів. Користуйтеся формулами для обчислення диференціалу довжини дуги, вивчайте формули похідних, правила диференціювання і розв'язування подібних прикладів не будеважким для Вас.
