Областью определения называют множество значений аргумента 
при котором существует значение функции 
и обозначают 
или 
. Областью значений называют множество чисел, которые принимает функция 
при прохождении аргументом 
всех значений из области определения.
Ее обозначают
или 
. Графически обе области хорошо иллюстрирует следующий рисунок
Для схематической функции рассматриваемые области принимают значения
Методика нахождения области определения для всех функций одна и та же: нужно выявить точки при которых функция не существует, а затем исключить из множества действительных чисел 
. В результаты получим набор промежутков или интервалов, точки, которые образуют область определения.
Особенности элементарных функций
1) Если функция имеет вид полинома 
то ее областью определения будет вся действительная ось
или 
. Такая функция определена повсюду.
2) Дробно рациональная функция 
, где 
– полиномы, областью определения имеет значения аргумента при которых знаменатель 
не превращается в ноль. Сначала находим решения уравнения
, если те существуют, вырезаем из множества действительных значений. В результате получим набор интервалов
где 
– корни уравнения 
.
3) Функция содержит корень парного степени 
. В таком случае областью определения будут точки 
, при которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения, т.е. решения неравенства 
.
4) Если корень содержит знаменатель
то область определения определяют из строгого неравенства 
.
5) Если в знаменателе имеем корень нечетной степени
то область определения находим из условия 
.
5) Если 
является логарифмом от другой функции 
, то по свойству логарифма область определения находим из условия 
. Как правило, это будет интервал или несколько интервалов.
6) Экспонента 
областью определения имеет множество аргументов 
, для которых определена 
. Например, функция 
определена на всей действительной оси.
7) Простые тригонометрические функции (косинус 
и синус
) определены на всем множестве действительных чисел 
.
8) Тангенс 
и котангенс 
областями определения имеют интервалы, граничащих между собой точками
для первой функции и
для второй, т.е.
В случаях когда при аргументах есть множители 
, точки в которых функция не существует следует определять из условия
Подобным образом и для котангенса 
9) Следует отметить, что обратные тригонометрические функции - арксинус 
и арккосинус 
областями значений имеют отрезок 
. Для отыскания областей определения необходимо решить двойное неравенство 
Например, для функции 
имеем неравенство 
с которого получим 
При суперпозиции функций, то есть когда задана их комбинацию, нужно находить область определения каждой из функций, после чего - сечение найденных областей.
Пример.
Решение.
Область определения первого слагаемого находим из неравенства
Второй и третий дадут следующий вклад
Сечением найденных областей будет интервал
---------------------------------------
Находите области определения по приведенной выше схеме, выключайте все лишние промежутки и точки и не допускайте ошибок. Помните, что установление областей определения - это одно из самых простых заданий при исследовании функции.
Посмотреть материалы:
