Отыскание максимумов и минимумов - одна из самых распространенных задач при исследованиях функций.
Непрерывная на отрезке 
функция 
принимает свое наибольшее или наименьшее значение, либо в критических точках (в точках, в которых производная обращается в нуль или не существует), принадлежащих исследуемому промежутке, или на его концах 
.
На практике нахождения максимумов и минимумов похоже на отыскания локального экстремума, только добавляются края промежутка. Возможны случаи, когда максимумы и минимумы функций находятся в точках локального экстремума, а возможные - на краях отрезка.
Рассмотрим ряд примеров, чтобы ознакомить Вас с методикой исследования.
-----------------------------------
Примеры.
Определить наибольшее и наименьшее значение фунции на промежутке.
Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец "Высшая математика в примерах и задачах".
1. (4.55.б)
Функция определена на всем множестве действительных чисел
Найдем производную функции
Приравняем ее к нулю и определим критические точки
Проверим знак производной слева и справа от найденной точки
Производная при переходе через точку 
меняет знак с положительного 
на отрицательный 
, следовательно она является точкой локального максимума.
Найдем значение функции в точке 
и на краях отрезка
Таким образом функция достигает максимума в точке локального экстремума 
и минимума на одном из краев отрезка 
.
2. (4.55.д)
На заданном промежутке функция определена; вычислим ее производную
Приравнивая нуля найдем критическую точку
Заданная точка принадлежит отрезку. Найдем значения функции во всех точках
Функция приобретает максимум и минимум в точках
3. (4.55.є)
Функция определена для всех значений аргумента 
.
Найдем производную
Из выражения видно, что производная отлична от нуля на промежутке определения, однако в точке 
она не существует.
Вычислим значение функции
Наибольшее значение функция принимает в точке 
, а наименьшее значение в критической точке 
.
-----------------------------------
Приведем решения задач из сборника Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика".
4. (5.770)
Функция определена везде, потому приступим сразу к вычислению производной
Приравняем ее к нулю и находим критические точки
Найдем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках
Из полученного набора значений следует, что функция принимает максимум и минимум на краях отрезка
5. (5.771)
На заданном интервале функция определена, проводим дифференцировку
Приравняв к нулю производную получим
Другую критическую точку найдем из условия, что производная не существует
Одна совпадает с началом отрезка. Вычислим значение функции на краях отрезка и в критических точках
Таким образом функция принимает максимальное значение в критической точке, а минимальное на конце отрезка
Из приведенных решений можно сделать выводы, что главным в исчислении является знание функций и умение дифференцировать. Все остальное сводится к отысканию значений функций в точках и анализа результатов. Изучайте свойства элементарных функций, правила нахождения производных, это Вам пригодится при решении примеров.
----------------------------------------------
Посмотреть материалы:
