Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а если:
1) она определена в этой точке;
2) существует предел функции в этой точке
3) значение предела равно значению функции в точке х = а, т.е.
Если одно из условий нарушается то функция называется разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой разрыва. Все элементарные функции являются непрерывными на интервалах определенности.
Классификация точек разрыва
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x) если существуют конечные односторонние пределы справа
и слева
.
Если, кроме этого, выполняется хотя бы одно из условий
то функция в точке х = а имеет неустранимый разрыв первого рода.
Если пределы равны, однако функция не существует
то имеем устранимый разрыв первого рода.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа 
или слева 
не существует или бесконечна.
Скачком функции в точке разрыва х = х0 называется разность ее односторонних границ
если они разные и не равны бесконечности.
При нахождении точек разрыва функции можно руководствоваться следующими правилами:
1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной на определенном интервале.
2) элементарная функция может иметь разрыв в точке где она не определена при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки.
3) Неэлементарные функция может иметь разрывы как в точках где она определена, так и в тех где она определена.
Например, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то на границе стыка может быть разрывной.
Рассмотрим несколько задач по данной теме.
Задача 1.
Найти точки разрыва функции
а) 
Решение:
Функция определена во всех точках кроме тех где знаменатель обращается в нуль x = 1, x = 1. Область определения функции следующая
Найдем односторонние пределы в точках разрыва
При нахождении односторонних границ подобного вида достаточно убедиться в знаке функции и в том, что знаменатель стремится к нулю. В результате получим границу равную бесконечности или минус бесконечности.
Поскольку в точках x = 1, x = -1 функция имеет бесконечные односторонние пределы, то аргументы 
являются точками разрыва второго рода. График функции приведен на рисунке ниже
-------------------------------------------------------
б) 
Решение:
Задача достаточно простая. В первую очередь находим нули знаменателя
Таким образом функция определена на всей действительной оси за исключением точек 
, которые являются точками разрыва. Вычислим односторонние пределы справа и слева
Пределы бесконечны поэтому, по определению, имеем точки разрыва 
второго рода.
Из графиков приведенных функций видим что для ряда из них отыскания точек разрыва сводится до нахождения вертикальных асимптот. Но бывают функции которые и без вертикальных асимптот имеют разрывы первого или второго рода.
-------------------------------------------------------
в) 
Решение:
Заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x = -3. Вычислим односторонние границы в этой точке
Они различаются по значениям, однако есть конечными. Итак точка x = -3 является неустранимой точкой разрыва І рода.
-------------------------------------------------------
Задача 2.
Найти точки разрыва функции если они существуют. Вычислить скачок функции в точке разрыва. Построить график функции.
а) 
Решение:
Для заданной функции точка x = 2 является точкой разрыва. Найдем предел функции , чтобы определить характер разрыва
По определению, точка x = 2 является неустранимой точкой разрыва первого рода. Вычислим скачок функции при x=2
График функции на интервале который нас интересует приведен далее
-------------------------------------------------------
б) 
Решение:
Неэлементарная функция y (x) определена для всех положительных значений аргумента. Точки которые разбивают функцию на интервалы могут быть разрывами. Для проверки найдем соответствующие пределы
Поскольку предел функции в точке x = 2 равен значению функции в этой точке то функция - непрерывная.
Отсюда также следует, что для непрерывной функции скачок равен 6-6 = 0.
Исследуем на непрерывность вторую точку
По определению функция в точке x = 2 имеет неустранимый разрыв І рода.
Прыжок функции равен 29 - (- 3) = 31.
По условию задания построим график функции.
Из приведенного материала Вы должны научиться находить разрывы первого и второго рода, а также различать их. Для этого подобрано немного примеров, которые в полной мере раскрывают все важные вопросы темы. Все остальное сводится к нахождению простых односторонних пределов и не должно быть для Вас сложным.
