Исследование функций должно начинаться с установления области определения и интервалов монотонности. Для этого студент должен обладать хорошими знаниями поведения элементарных функций и последующим теоретическим материалом.
Функция 
называется возрастающей на интервале 
если для любых двух точек 
и 
с этого промежутка и таких, что 
выполняется неравенство
.
Для того чтобы функция 
была убывающей на интервале 
необходимо, чтобы для любых 
и 
, принадлежащих к этому интервалу и удовлетворяющих условию 
исполнялось неравенство
.
Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а интервалы в которых
функция возрастает или убывает – интервалами монотонности.
Область возрастания и убывания функции 
характеризуется знаком ее производной: если в
некотором интервале производная больше нуля 
, то функция возрастает в этом интервале;
если же наоборот 
– то функция убывает в этом интервале.
Интервалы монотонности могут прилегать друг к другу или точками, где производная равна нулю
или точками, где производная не существует. Эти точки называются критическими точками.
Для того, чтобы найти интервалы монотонности функции 
нужно:
1) найти область определения функции 
;
2) вычислить производную данной функции;
3) найти критические точки из условия равенства нулю производной 
или при условии, что производная 
не существует;
4) разделить критическими точками область определения на интервалы, в каждом из которых определить знак производной.
На интервалах где производная положительная функция возрастает, а где отрицательная - убывает.
-----------------------------------
Примеры.
Рассмотрим задачу из сборника В.Ю. Клепко, В.Л. Голец "Высшая математика в примерах и задачах" на нахождение интервалов монотонности функции.
1. (3.36.10)
Функция существует во всех точках где определен логарифм и он не обращается в нуль, а также где функция под корнем принимает неотрицательные значения. На основе этого находим
Итак, областью определения будут два интервала
2. (3.36.11)
С подкоренной функцией ведем себя как и в предыдущем примере, а функция 
определена на промежутке
. Находим область определения
Единственным промежутком, который удовлетворяет эти условия являются следующий
.
3. (3.36.13)
Область определения функции находим из двух условий
Первое условие дает две точки
в которых функция не существует.
С второго условия получим
Исследуем поведение функции в интервалах монотонности на которые разбивают заданные точки. Для этого
выбираем произвольные точки 
из интервалов и проверяем знак 
Функция 
принимает положительные значения в интервалах
Вместе с первым условием получим следующую область определения
------------------------------
Рассмотрим примеры исследования монотонности функции из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика" .
І. (5.705) Показать, что функция 
возрастает на интервале
и убывает в интервале 
.
1) Областью определения функции будет множество значений для которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения.
Решим квадратное уравнение
Определим знак функции на всем интервале 
Таким образом получим следующую область определения
2) Найдем производную
.
3) Приравняем ее к нулю и найдем критические точки:
Не стоит забывать и о точках, в которых производная не существует. Это корни уравнения в
знаменателе. Итак производная существует на интервале 
в точке 
меняет знак.
4) Знаки производной: подставляем 
в производную 
Так что на интервале 
функция возрастает, а на 
- убывает.
ІІ. (5.715) Найти интервалы монотонности функции
1. Областью определения будет множество точек 
для которых существует логарифм функция. На
основе этого получим
Итак 
2) Найдем производную функции
3) Находим критические точки
Другая точка, где производная не существует это 
, не принадлежит области определения функции.
Таким образом получили два интервала монотонности 
и 
.
4) Выясним где функция возрастает, а где убывает. Подставим точки 
и 
в выражение для
производной
Исследуемая функция на интервале 
убывает и на 
растет.
При исследовании функций на монотонность определите все критические точки в которых производная равна нулю или не существует. Также не забывайте при этом учитывать область определения функции. Остальное зависит от Ваших знаний свойств элементарных функции, поскольку именно на их основе построены все задачи, которые Вам задают преподаватели.
----------------------------------------------
Посмотреть материалы:
