Готові відповіді до ЗНО з математики допоможуть випускникам краще підготуватися до тестів. Розв'язки завдань за 2015 рік містять всі необхідні пояснення, що дозволяє на простих прикладах повторити весь теоретичний матеріал з математики. Самі завдання відскановані, щоб не повторятися. Їх ви можете завантажити онлайн з посилання в кінці відповідей.
Завдання 1
Для того, щоб виразити число у відсотках помножимо його на 100%.
В результаті отримаємо
1/5•100%=0.2•100%=20%.
В тестах цю відповідь містить Б).
Завдання 2
Знайдемо довжину одного вдрізка
60:4-15 см.
Середини крайні відрізки від країв знаходяться на відстані
15:2=7,5 см.
Тоді відстань між серединами рівна всій мінус два краї
60-2•7,5=45 см.
Правильний варіант тестів В).
Завдання 3
Обчисліть добуток коренів рівняння
x^2+6x-55=0.
Є два методи – перший шукати корені через дискримінант, що займе часу і застосувати формулу Вієта.
На тестах Ви можете забути формулу Вієта, то ж краще її повторно вивести
(x-a)(x-b)=x^2-x(a+b)+ab.
Звідси добуток коренів квадратного рівняння рівний вільному члену, тобто (-55).
Це в тестах відповідає варіанту А) відповідей.
Завдання 4
Спростимо дріб попередньо виразивши в чисельнику і знаменнику спільні множники
Спрощений вираз відповідає пункту Д).
Завдання 5
Проаналізуємо функцію y=(5+x)/(x-2).
Найпростіше виконати підстановку і зясувати належність точки графіку функції.
Знаменик не повинен перетворюватися в нуль, тому варіант А) не є відповіддю.
Друга теж не підходить, бо отримаємо відємний знаменник, а значить і вираз, що суперечить додатному значенні y=7.
Варіант В) також відкидаємо, оскільки при x=-3 отримуємо відємне значення функції.
Те ж сааме стосується варіанту Г).
Отже, варіант Д) єдино правильний.
y(4)=9/2=4,5
Завдання 6
Проаналізуємо паралелограм ABCD.
Сума всіх внутрішніх кутів рівна 360 градусів.
Кути B, D тупі за побудовою, тому їх сума більша 180 градусів, отже наведене твердження не вірне.
Кут B тупий, а кут A гострий, тому різниця 3 твердження є вірним.
Отже правильні відповіді І і ІІІ, що відповідає варіанту Г) тестів ЗНО.
Завдання 7
log3x=-1.
Хто призабув, як розв'язувати логарифмічні рівняння прошу переглянути відповідь.
Експонуємо за основою 3 обидві частини рівняння, в результаті отримаємо
3^log3x=3^(-1)
x=3^(-1)=1/3
Відповідь відповідає варіанту А).
Завдання 8
Визначте площу сфери, діаметр якої 12 см.
Без знання формул завдання не обчислити, що з нашої точки зору є неправильним.
Правда формула досить легка,
S=Pi*d^2=Pi*12^2=144*Pi см2.
Правильна відповідь В).
Завдання 9
Вектори взаємно перпендикулярні, тому сума векторів рівна гіпотенузі прямокутного трикутника побудованого на a, b.
Знайдемо квадрат модуля вектора
|a+b|^2=6^2+8^2=36+64=100
Звідси
|a+b|=10.
Цю відповідь містить пункт Г) ЗНО тестів.
Завдання 10
Маємо два ріняння з двома невідомими, тому розвязок існує, якщо вони не є лінійно залежними.
Не лякайтеся, що зміннва «ікс» міститься під коренем, її якраз треба позбутися.
Тому з першого рівняння виражаємо корінь з «ікс» та підставляємо у друге, в результаті матимемо
Розписавши, та звівши подібні доданки отримаємо -3y=-3.
Звідси y=1. Правильна відповідь Д).
Завдання 11
Відсоток часу, протягом якого майстер обслуговує верстати переворимо в ймовірності, розділивши їх на 100%.
В результаті отримаємо
P1=0.2, P2=0.3, P3=0.5.
Ймовірність, що обслуговує перший або третій рівна сумі відповідних значень
p=0.2+0.5=0.7
Це варіант Б) пробного ЗНО за 2015 рік.
Завдання 12
Щоб знайти ескіз графіка y=2^(-x) потрібно пригадати кілька властивостей показникових функцій.
Перша, якщо основа додатня , а показник зростає то функція зростає.
В нас же в показнику мінус «ікс», тому функція відповідно симметрична відносно осі Oy, тому постійно спадає. З наведених відповідей підходять варіанти Б, В.
Далі 2 властивість: показникові функція завжди додатна, тому варіант В) відкидаємо.
Отже правильна відповідь Б).
Завдання 13
Маємо прості тригонометричні рівняння.
Варіанти Б,В, Г зразу відпадають, оскільки тангенси та котангенси можуть приймати як завгодно великі додатні та відємні значення.
Залишається sin(x), cos(x), проаналізуємо їх.
Корінь з трьох приблизно рівний 1.73, якщо число розділити на двійку, то воно буде менше одиниці, що відповідає області визначення синуса.
В прикладі Д) маємо обернене корінь з трьох в знаменнику, тому вираз більший одиниці, а значить рівняння не має коренів.
Отже Д) правильна відповідь до тесту.
Завдання 14
Спростимо рівняння, для цього 36 розпишемо як 6 в квадраті. Тоді 2 буде множником в показнику при логарифмі, що в свою чергу можна за властивостями логарифмів занести в степінь 5.
Далі 6 в степені логарифма 6 дає вираз, що йде за ним, тобто 5^2=25.
Значить правильна відповідь Г).
Завдання 15
AB1 є діагоналлю бокового ребра куба.
DD1 – сторона на паралельному ребрі куба.
Тому сторони паралелні DD1||AA1.
В кубі діагоналі нахилені до сторін під кутом 45 градусів, тому шуканий кут теж рівний 45.
Це відповідає варіанту В) відповідей.
Завдання 16
y=(4-x)/5 – проста лінійна функція, тому областю визначення є множина всіх дійсних чисел.
Завдання 17
Щоб розкрити модуль проаналізуємо як змінюється функції на вказаному проміжку.
Дослідимо її на екстремуми
f'=2a-1=0.
a=1/2.
Отже маємо на відрізку параболу з вітками вгору з вершиною в
a=1/2.
В крайніх точках області вона перетворюється в нуль.
В нулі впідмодульна функція відємна, отже щоб розкрити модулі всю функцію необхідно взяти з відємним знаком, тобто
|a^2-a-6|=-a^2+a+6
Таку відповідь має пункт Г) тестів.
Завдання 18
Показникову нерівність спершу треба звести до однієї основи, для цього праву сторону поділимо на двійку, а далі представимо як 0.3^2.
Далі , оскільки основа менша одиниці то при розкритті міняємо знак нерівності, тому з умови слідує x>2, а це відповідає варіанту Б) ЗНО тестів.
Завдання 19
Інтегруванням знаходимо первісну функції
F(x)=2*x^2/2+2x+C=x^2+2x+C.
З умови, що графік первісної проходить чсерез точку (1;4) знаходимо сталу
4=1+2+C.
Звідси стала рівна одиниці
C=1,
а рівняння первісної
F(x)=x^2+2x+1.
Варіант Б) містить правильну відповідь.
Завдання 20
Проаналізуємо розгортку паралелепіпеда, щоб знайти об'єм нам потрібно знати площу основи та висоту.
Щоб знайти висоту паралелепіпеда уявно представте,як його будете складати.
Звідси
h=12-4=8,
V=8*4*3=96 см^3.
Це відповідає пункту А) тестів.
Завдання 21
Завдання на знання тригонометричних формул загалом не складне, потрібно знати формулу косинуса та синуса подвійного кута, решта не важко вивести знаючи ише правило:
Сума квадрату синуса та косинуса рівна одиниці.
Таким чином маємо наступні відповіді: 1Д), 2 Б), 3 В), 4 А.
Завдання 22
Функція y=x^2 є парною+ область значень належить інтервалу (0; infinity).
y=x^3+1 зростає на всій області визначення, варіант А).
y=3-x спадаэ на всій області визначення.
Це легко довести, оскільки похідна рівна мінус одиниці, тобто всюди відємна.
Тригонометрична функція y=sin(x) в нулі рівна ную, є періодичною, до того ж непарною функцією В).
Завдання 23
Проведемо детальний аналіз заданих трикутників та визначио, до яких пунктів вони належать.
1) Трикутник у якого центри вписанного та описанного кола збігаються – це рівносторонній триутник.
Серед наведених трикутників підходить пункт A, оскільки сторонни рівні та кут при вершині рівний 60.
Звідси кути при основі рівні (180-60) /2=60.
Завдання 24
Задано точку в просторі з координатами M(1;-4;8).
Відстань від точки M до площини xy рівна 8.
Це легко бачити, це фактично значення координати z за модулем.
Інший варіант, шукати проекцію точки на площину F(1;-4;0), а далі модуль вектора |MF|.
Квадрат відстані від точки M до початку координат рівний сумі квадратів координат
8^2+(-4)^2+1=64+16+1=81.
Корінь з 81 рівний 8, що відповідає пункту Г) тестів.
Решта розв'язків ЗНО 2015 з математики Ви можете переглянути в наступній частині.
