Сьогодні проаналізуємо готові відповіді з ТІМС, які вчать будувати закони розподілу дискретної випадкової величини Х та обчислювати числові характеристики M(X), D(X), σ(X).

Приклад 1. Гральний кубик кидають три рази. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – кількості появи двійки на верхній грані кубика.
Обчислити M(X), D(X) та середнє квадратичне відхилення σ.
Обчислення: Гральний кубик має 6 граней, на одній з яких 2.
Ймовірність, що випаде двійка в одному киданні рівна p1=1/6, що не випаде q1=5/6.
Закон розподілу: ймовірності, що двійка при трьох кидках випаде 0,1,2,3 рази.
p(0)=5/6^3=0,5787;
p(1)=3•1/6•5/6•5/6=0,3471;
p(2)=3•1/6•1/6•5/6=0,0693;
p(3)=1/6•1/6•1/6=0,00461.

У 2 і 3 рядках домножали на 3 за рахунок розміщень з 3 по 2 (A32=3!/2!).
Складаємо таблицю розподілу Х

Х

0

1

2

3

p(x)

0,5787

0,3471

0,0693

0,00461

Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення знаходимо з формул

M(x)=0,5787*0+1*0,3471+2*0,0693+3*0,00461=0,01458;
D(x)=1*0,3471+4*0,0693+9*0,00461-0,01458=0,0283;
σ(X)=√D(x)=√0,0283=0,1682.
Запам'ятовуйте формули для обчислення числових характеристик дискретної випадкової величини.

 

Приклад 2. З дев'яти кульок, серед яких є 4 пофарбовані, навмання вибирають 5 кульок. Скласти ряд розподілу і побудувати функцію розподілу випадкової величини Х – кількості пофарбованих кульок серед вибраних.
Обчислення: Кількість пофарбованих кульок може приймати значення від 0 до їх максимальної кількості =4 серед 5, що вибирають. Оскільки "кульки" не "діти, книжки,..." і немає значення під яким номером входять в набір, а лише їх кількість то кількість всеможливих наборів визначаємо через формулу комбінацій.
Кількість різних варіантів вибрати 5 кульок з 9 рівна С95.
k – кульок з 4 пофарбованих можна вибрати С4k способами і лишається вибрати (5-k) непофарбованих з 5, що дорівнює С55-k.
Тоді за теоремою множення ймовірностей функція розподілу рівна
p(k)=С4k•С55-k95.
Для обчислення ймовірностей скористаємося математичним пакетом мейпл, в ньому за комбінації з n по m відповідає функція binomial(n,m).
Решта обчислень як і графік розподілу наведені нижче .
графік розподілу ймовірностей, мейпл
Зауважте, що в мейплі початковий номер має бути натуральним числом, тому зміщаємо в формулі індексна 1 вліво.
Результати записуємо в таблицю розподілу:

X

0

1

2

3

4

P(X)

1/126

10/63

10/21

10/63

5/126

На основі ряду розподілу ймовірностей побудуємо функцію ймовірностей F(x).
Спершу вручну, як вимагають на практичних для студентів
F(X<0)=0;
F(0<X<1)=p(X=0)=1/126≈0,079;
F(1<X<2)=p(X=0)+p(X=1)=21/126=0,16(6);
F(2<X<3)=1/126+10/63+10/21≈0,643;
F(3<X<4)=F(2<X<3)+p(X=3)=0,643+10/63≈0,96;
F(X>4)=1.

Далі покажемо, як обчислити функцію розподілу в мейплі та побудувати її графік.
функція розподілу ймовірностей
Саме такий вигляд має графік функції розподілу, іноді вимагають ставити всюди вектори як на останній ділянці.

 

Приклад 3. На полиці стоять 5 підручників з математики і 3 з фізики. З полиці навмання беруть три книги.
Скласти закон розподілу випадкової величини Х – кількості підручників з математики серед відібраних.
Обчислити числові характеристики M(X), D(X), σ(X).
Обчислення: Х – може приймати значення від 0 до 3. Розв'яжемо завдання двома способами.

1 спосіб

Пояснимо на пальцях усі ймовірності.
Нехай першою треба знайти ймовірність, що виберуть 0 книг з математики.
Це означає, що треба вибрати лише 3 книги з фізики з 3 серед (5+3)=8 можливих.
Ймовірність вибрати фізику першою рівна 3/8.
Після цього залишиться 8-1=7 книг, 2 з яких з фізики, тому ймовірність другою взяти фізику рівна 2/7, третьою – 1/6.
За теоремою множення ймовірностей
p(0)=3/8•2/7•1/6≈0,01786.
Ймовірність вибрати 1 підручник з математики означає 1 з 5 з математики, і 2 з 3 з фізики.
Ймовірність вибрати першим математику рівна 5/8, другим фізику – 3/7, третім фізику – 2/6.
Плюс ще треба врахувати перестановки з 3 по 1 (A31=3), оскільки математика може бути вибрана в ряді першою, другою або третьою, тобто набори
МФФ, ФМФ, ФФМ.
Обчислюємо p(1):
p(1)=3•5/8•3/7•2/6≈0,2678.
Ймовірність вийняти дві книжки з математики з 3:
ММФ, МФМ, ФММ.
Ймовірність вибрати матем. першою рівна 5/8, другою – 4/7, далі фізику – 3/6.
p(2)=3•5/8•4/7•3/6≈0,5357.
Ймовірність взяти 3 книги з 5 з математики серед 8 рівна
p(3)=5/8•4/7•3/6≈0,1786.
Тому що першою беремо одну з 5 книг серед 8, другою 1 з 4 серед 7, третьою – 1 з 3 математик з 8 книг.
Це надіюсь Вам легко усвідомити.

2 спосіб

Обчислимо через формули ймовірності. Оскільки нам неважливо яка з книг з математики чи фізики попаде в набір, а лише їх кількість, то застосовуємо формулу комбінацій. Кількість можливих способів вибрати 3 книги з 8 рівна
N=C83=8!/(3!•5!)=56.
Кількість способів вибрати k=0..3 книг з 5 з математики дорівнює
m1=C5k=5!/(k!•(5-k)!).
3-k книг з фізики можна вибрати m2 способами
m2=C33-k=3!/(k!•(3-k)!).
Тому за теоремою множення ймовірностей
p(k)=m1•m2/N.
При обчисленнях отримаємо ті ж значення, що і першим способом.
Записуємо результати в таблицю закону розподілу

X

0

1

2

3

p

0,01786

0,2678

0,5357

0,1786

Це тільки пів завдання, далі обчислюємо математичне сподівання за формулою
M(x)=sum(xi•pi,i=0..3)=1•0,2678+2•0,5357+3•0,1786=1,626.
Формула дисперсії
M(x)=sum(xi2•pi,i=0..3)-M2(X)=0,6278.
Середнє квадратичне відхилення рівне кореню з дисперсії
σ(X)=√0,6278≈0,7923.
Всі числові характеристики розподілу знайдені.

 

Приклад 3. Ймовірність того, що покупець, який завітав до взуттєвого магазину, здійснить покупку дорівнює в середньому 0,1. Яка ймовірність того, що із 400 покупців, що завітали до магазину покупку здійснять: а) 40 покупців; б) від 50 до 80 покупців.
Обчислення: Найточніше і найшвидше розрахунки можна провести на комп'ютері з допомогою математичних пакетів, зокрема в мейплі вся відповідь має вигляд:
ймовірність попадання в інтервал, обчислення в мейпл

Тут Вам і закон ймовірностей, графік і шукані ймовірності в точці та на інтервалі.

На практиці колись до таких степенів ніхто не розраховував і факторіали від великих чисел не брали. Тому придумали наближені функції, якими як і 100 років тому, проведемо обчислення.
Перше значення P40040 за локальною формулою Лапласа.
Тоді ймовірність що серед 400 людей покупку зроблять 40 рівна 0,047
обчислення ймовірності за Лапласом
Як бачите похибка між точним значенням 0,0597 і наближеним 0,047 велика, але це вважалося нормальною збіжністю і всі наближені формули вчать по сьогодні, хоча на мою думку, такі обчислення зайві.
Далі ще інтересніше, ймовірність, що від 50 до 80 покупців за іншою – інтегральною формулою Лапласа.
Для k1=50 і k2=80 знайдемо "ікси" за формулою

Інтегральну функцію Лапласа в точках "ікс1, ікс2" також обчислювали в мейплі.
інтегральна функція Лапласа
Думаю,якщо шукати онлайн таблиці інтегральної функції Лапласа, то похибка обчислень була б більшою через грубу табуляцію.
Загалом бачимо, що розходження між точним значенням 0,054 і наближеним 0,0478 досить відчутне.